Lassen ein zusammenhängender Graph mit Knoten und die Kanten . Sei das (ganzzahlige) Gewicht des Graphen , wobei das Gesamtgewicht im Graphen ist. Das durchschnittliche Gewicht pro Knoten beträgt dann . Sei die Abweichung des Knotens aus dem Mittel. Wir nennendasUngleichgewichtdes Knotens .
Angenommen, das Gewicht zwischen zwei benachbarten Knoten kann sich um höchstens , dh
Frage : Was ist das größtmögliche Ungleichgewicht, das das Netzwerk in Bezug auf und ? Um genauer zu sein, stellen Sie sich den Vektor . Ich wäre gleichermaßen zufrieden mit den Ergebnissen bezüglich oder .
Für kann eine einfache Grenze in Bezug auf den Graphendurchmesser gefunden werden: Da alle zu Null summieren müssen , muss es irgendwo ein negatives e j geben , wenn es ein großes positives gibt . Daher ihre Differenz | e i - e j | ist mindestens | e i | Dieser Unterschied kann jedoch höchstens der kürzeste Abstand zwischen den Knoten i und j sein , der wiederum höchstens der Graphendurchmesser sein kann.
Ich interessiere mich für stärkere Grenzen, vorzugsweise für die - oder Norm. Ich nehme an, es sollte eine Spektralgraphentheorie beinhalten, um die Konnektivität des Graphen widerzuspiegeln. Ich habe versucht, es als Max-Flow-Problem auszudrücken, ohne Erfolg.
EDIT: Weitere Erklärung. Ich interessiere mich für die - oder Norm, da sie das gesamte Ungleichgewicht genauer widerspiegeln. Eine triviale Beziehung würde sich aus und . Ich erwarte jedoch, dass aufgrund der Verbundenheit des Graphen und meiner Einschränkung derLastdifferenzzwischen benachbarten Knoten die1-und2-Norm viel kleiner sein sollten.
Beispiel: Hypercube der Dimension d mit . Es hat einen Durchmesser d = log 2 ( n ) . Das maximale Ungleichgewicht beträgt dann höchstens d . Dies legt als Obergrenze für die 1- Norm n d = n log 2 ( n ) nahe . Bisher war ich nicht in der Lage, eine Situation zu konstruieren, in der dies tatsächlich erreicht wird. Das Beste, was ich tun kann, ist etwas in der Art von | | → e | | 1 = n / 2, wo ich einen Zyklus in den Hypercube einbette und die Knoten Ungleichgewichte , 1 , 0 , - 1 usw. haben. Hier ist die Grenze also um einen Faktor von log ( n ) versetzt , den ich bereits als zu viel betrachte, wie ich Ich suche (asymptotisch) enge Grenzen.
Antworten:
Da wird durch den Durchmesser d begrenzt , wird die ℓ 1- Norm trivial durch n d begrenzt , ebenso für die ℓ 2- Norm, außer durch √|ei| d ℓ1 nd ℓ2 (tatsächlich ist dieℓp-Norm durchn 1 / p d begrenzt).n−−√d ℓp n1/pd
Der Fall ist überraschend einfach zu analysieren.ℓ1
O ( n 2 ) O ( n d )∥e⃗ ∥1 O(n2) O(nd)
Für einen vollständigen -ary-Baum können Sie ihn an der Wurzel in zwei Hälften teilen, indem Sie , eine Seite aufsteigen und die andere absteigen, bis die Blätter , wodurch wieder wird.w root = 0 | e i | = | w i | = log k n O ( n log k n ) = O ( n d )k wroot=0 |ei|=|wi|=logkn O(nlogkn)=O(nd)
Für eine Clique spielt es keine Rolle, wie Sie die Gewichte verteilen, da sie alle innerhalb von voneinander liegen und dies wiederum ergibt .O ( n ) = O ( n d )1 O(n)=O(nd)
Wenn Sie erkennen, dass es sich hier um eine Funktion , nehmen wir ihre Norm: Solange Sie die Gewichte beliebig gleichmäßig über den Bereich verteilen können, ist die Grenze .ℓ 1 e i ∈ [ - d / 2 , d / 2 ] O ( n d )e:Z→[−d/2,d/2]⊂R ℓ1 ei∈[−d/2,d/2] O(nd)
Die einzige Möglichkeit, dies zu ändern, besteht darin, Spiele mit der Masse zu spielen. Wenn Sie beispielsweise mehrere Riesencliquen an Punkten haben, die notwendigerweise ausgeglichen sind, wie eine Riesenclique, aus der zwei Pfade gleicher Länge herausragen, können Sie auf eine Grenze von nur (zum Beispiel) .O(d2)
Dies mag bis zu einem gewissen Grad auch für Expander zutreffen, aber ich bin mir nicht sicher. Ich könnte mir einen Fall vorstellen, in dem Sie in einem regulären Graphen und die Werte anschließend von jedem Sprung an ansteigen lassen. Es scheint wahrscheinlich, dass der Mittelwert möglicherweise die größte Masse haben könnte, aber ich weiß nicht, ob es ausreichen würde, um die Grenze zu beeinflussen.w1=0
Ich denke, dass Sie ähnlich über könnten .ℓ2
BEARBEITEN:
In den Kommentaren haben wir eine (lose) Grenze von Verwendung der Einschränkungen des Problems und einiger grundlegender Spektralgraphentheorie herausgefunden. O ( | E | / λ 2 ( L ) )ℓ2 O(|E|/λ2(L))
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Bei verbundenen Graphen wird das Ungleichgewicht durch den Durchmesser des Graphen begrenzt. Um das Ungleichgewicht können wir jedes als wobei der kürzeste Weg von nach . Definiere . Wir können|wi−1/n∑kwk| wk wk−v1+v1−v2+v2−...−vk+vk−wi+wi wk,v1,...,vk,wi wi wk wki=wk−v1+v1−v2+v2−...−vk+vk−wi
Jedes ist durch die Länge des kürzesten Weges von nach durch Ihre Annahme begrenzt, dass für jedes . Daher erhalten wir die triviale Grenze:wki i k wi−wj≤1 i,j∈E
Dies ist möglicherweise nicht allzu weit vom Optimum entfernt. Ich denke an einen vollständigen -ary-Baum, bei dem die Knoten auf jeder Ebene ein um eins höheres Gewicht haben als das Gewicht der vorherigen Ebene. Ein großer Teil des Diagramms hat das höchste Gewicht, . Der Durchschnitt sollte also nach oben geneigt sein. Wenn und größer werden, erwarte ich, dass immer näher an was bedeutet, dass das Ungleichgewicht immer näher an heranrücken sollte .k D+1 k n m D+1 D
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