Beschränkung der Eingabe von einheitlichen Operatoren auf reelle Zahlen und universelle Gatesätze

In Bernsteins und Vaziranis wegweisender Arbeit "Quantum Complexity Theory" zeigen sie, dass a$d$ dimensionale einheitliche Transformation durch ein Produkt aus "nahezu trivialen Rotationen" und "nahezu trivialen Phasenverschiebungen" effizient angenähert werden kann.

"Fast triviale Rotationen" sind$d$ dimensionale einheitliche Matrizen, die als Identität auf allen außer 2 Dimensionen fungieren, aber als Rotation in der Ebene, die von diesen beiden Dimensionen überspannt wird (dh eine 2x2-Submatrix der Form hat:

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

für einige ).$\theta$

"Nahezu triviale Phasenverschiebungen" sind dimensionale einheitliche Matrizen, die als Identität für alle außer einer Dimension fungieren, aber für einige einen Faktor von auf diese eine Dimension anwenden .e i θ$d$$e^{i\theta}$$\theta$

Darüber hinaus zeigen sie, dass nur ein Drehwinkel benötigt wird (sowohl für die Rotations- als auch für die Phasenverschiebungseinheit), da der Winkel ein irrationales Vielfaches von (BV setzt den Winkel auf .2 π ∑ ∞ j = 1 2 - 2 $2\pi$$2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}}$

Nachfolgende Arbeiten zur Quantenkomplexitätstheorie (wie die von Adleman et al. Oder Fortnow und Rogers) behaupten, dass das BV-Ergebnis impliziert, dass eine universelle Quantenberechnung mit einheitlichen Operatoren durchgeführt werden kann, deren Einträge in .$\mathbb{R}$

Wie folgt das? Ich kann verstehen, dass ein Produkt von nahezu trivialen Rotationsmatrizen eine einheitliche Matrix mit realen Einträgen ergibt, aber was ist mit den Phasenverschiebungsmatrizen?

Das heißt: Wenn Sie nur nahezu triviale Rotationen und Phasenverschiebungsmatrizen ausführen können, bei denen die Einträge der Matrix entweder , können wir dann alle anderen Phasenverschiebungsmatrizen effizient approximieren?$0,\pm 1$

Ich vermute, dass diese Implikation nicht sofort offensichtlich ist, und der richtige Beweis dafür würde dem Beweis ähneln, dass das Toffoli-ähnliche Tor von Deutsch universell ist - oder fehlt mir etwas sehr Offensichtliches?

Es gibt einen einfachen Beweis dafür, dass Toffoli und Hadamard Quantum Universal von Dorit Aharonov sind, der zunächst zeigt, wie komplexe Amplituden durch reale Amplituden über einen größeren Hilbert-Raum mit einem weiteren Qubit simuliert werden können.

Dies geschieht, indem der Schaltung ein zusätzliches Qubit hinzugefügt wird, dessen Zustand angibt, ob sich der Systemzustand im Real- oder Imaginärteil des Hilbert-Raums befindet, und jedes komplexe Gate das mit Qubits arbeitet, durch seine angegebene reale Version ersetzt wird , die mit denselben Qubits plus dem zusätzlichen Qubit arbeitet. wird definiert durch:k ˜ U k ˜ $U$$k$$\tilde{U}$$k$$\tilde{U}$

$\tilde{U}|i\rangle |0\rangle = [Re(U)|i\rangle]|0\rangle + [Im(U)|i\rangle]|1\rangle$
$\tilde{U}|i\rangle |1\rangle = -[Im(U)|i\rangle]|0\rangle + [Re(U)|i\rangle]|1\rangle$ "

Zweitens beweist sie die Universalität des {Hadamard, Toffoli} Gate-Sets, das nur reale Amplituden .$\{0,1,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Zusätzlich zu dem Artikel, auf den Martin Sie hingewiesen hat, gab es einen früheren Artikel von Terry Rudolph und Lov Grover, der zeigte, dass ein 2-Rebit-Gate für das Quantencomputing universell ist (siehe quant-ph / 0210187 ). Das Gate hat alle realen Einträge, und falls Sie nicht wissen, dass Rebits Qubits sind, bei denen die Amplituden auf reelle Zahlen beschränkt sind. Dies kann die Quelle des Anspruchs sein. Das in dem Papier beschriebene fragliche Tor ist eine kontrollierte Y-Drehung.

$G(\theta) = Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12} Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12}$