O ( log c n ) O ( n k ) c k n c 2 n k fängt die Idee einer effizienten Parallelisierung ein, und eine Interpretation davon sind Probleme, die in der Zeit mit parallelen Prozessoren für einige Konstanten , lösbar sind . Meine Frage ist, ob es eine analoge Komplexitätsklasse gibt, in der die Zeit und die Anzahl der Prozessoren beträgt . Zum Ausfüllen der leeren Frage:
P E X P ist zu als _ _ ist zu
Insbesondere interessiere ich mich für ein Modell, bei dem eine exponentielle Anzahl von Computern in einem Netzwerk mit polynomial begrenztem Grad angeordnet ist (sagen wir, das Netzwerk ist unabhängig von der Eingabe / dem Problem oder zumindest leicht zu konstruieren oder von anderen vernünftigen Gleichförmigkeitsannahmen ). Zu jedem Zeitschritt:
- Jeder Computer liest die Polynomzahl der polynomgroßen Nachrichten, die er im vorherigen Zeitschritt empfangen hat.
- Auf jedem Computer wird eine Polytime-Berechnung ausgeführt, die von diesen Meldungen abhängen kann.
- Jeder Computer gibt an jeden seiner Nachbarn eine Nachricht (mit einer bestimmten Länge) weiter.
Wie heißt eine Komplexitätsklasse, die diesen Modellen entspricht? Was ist ein guter Ort, um über solche Komplexitätsklassen zu lesen? Gibt es für eine solche Klasse vollständige Probleme?
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Antworten:
Ich glaube , die Klasse Sie suchen , ist . Angenommen, Sie haben e x p ( n k ) = 2 O ( n k ) Prozessoren, die die Anforderungen erfüllen:PSPA CE e x p ( nk) = 2O ( nk)
Dies kann mit einer Schaltung mit modelliert werden Schichten, wobei jede Schicht e x p ( n k ) „gates“, und jedes „Gate“ funktioniert einen Polynom Zeitberechnung (befriedigend Teil 2) mit Polynom Fan-In (Teil 1) und Polynom-Fan-Out (Teil 3).poly(n) exp(nk)
Da jedes Gatter eine Polynomzeitfunktion berechnet, kann jede durch eine polynomgroße Schaltung (mit UND / ODER / NICHT) auf die übliche Weise ersetzt werden. Beachten Sie, dass die polynomiellen Fan-Ins und Fan-Outs auf 2 festgelegt werden können, indem die Tiefe nur um einen Faktor ( log n ) erhöht wird. Was bleibt , ist ein p o l y ( n ) Tiefe einheitliche Schaltung mit e x p ( n k ) UND / ODER / NICHT - Gatter. Dies ist genau die alternierende Polynomzeit, die genau P S P A C E ist .O(logn) poly(n) exp(nk) PSPACE
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Wie Ryan sagt, ist diese Klasse PSPACE. Diese Klasse wird in der Literatur häufig als NC (Poly) bezeichnet. Hier ist ein direktes Zitat aus dem QIP = PSPACE- Papier:
Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, beide Einschlüsse direkt zu beweisen. Um zu sehen, dass sich NC (poly) in PSPACE befindet, können wir die Ausgabe des endgültigen Gatters rekursiv berechnen und benötigen nur einen Stapel mit einer Größe, die der Tiefe der Schaltung entspricht, die polynomiell ist. Um zu zeigen, dass sich PSPACE in NC (poly) befindet, ist zu beachten, dass QBF, das PSPACE-vollständig ist, wie üblich als Polynomtiefenschaltung mit exponentiell vielen Gattern geschrieben werden kann - der existierende Quantifizierer ist ein ODER-Gatter, der Forall-Quantifizierer ist ein UND-Gatter. Da es nur polynomisch viele Quantifizierer gibt, handelt es sich um eine polynomische Tiefenschaltung.
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