Übergang von Quanten- zu klassischen Zufallsläufen

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Gibt es Modelle von Dekohärenz für den Quanten Spaziergang auf der Linie , so dass wir können , stimmen die zu Fuß zur Ausbreitung als $\Theta(t^k)$ für jedes $1/2 \leq k \leq 1$ ?

Motivation

Klassische Random-Walks sind beim Algorithmus-Design nützlich, und Quanten-Random-Walks haben sich als nützlich erwiesen, um eine Reihe von coolen Quanten-Algorithmen zu erstellen (manchmal mit nachweisbaren exponentiellen Beschleunigungen ). Daher ist es wichtig, den Unterschied zwischen Quanten- und klassischen Zufallsläufen zu verstehen. Manchmal ist es am einfachsten, Spielzeugmodelle in Betracht zu ziehen, z. B. Spaziergänge auf der Linie.

Es gibt auch eine physikalische Motivation: Es ist interessant zu wissen, wie sich die Quantenmechanik zur klassischen Mechanik skaliert. Dies ist jedoch für die Theorie nicht sehr relevant.

Meine persönliche Motivation ist völlig orthogonal: Ich versuche, einige experimentelle Daten mit einem Modell abzugleichen, das reibungslos vom Quanten- zum klassischen Modell übergeht und relativ intuitiv ist.

Hintergrund

Wenn Quanten und klassische Wege auf der ganzen Zahl Linie bedenkt, ist ein Hauptunterschied , dass die Standardabweichung (der Verteilungsposition) des Quanten Fußes geht als und die klassischen one als Θ ( t 1 / 2 ) wobei t die ist Anzahl der Schritte für ein diskretes Modell oder Zeit in einem kontinuierlichen Modell. Beachten Sie, dass dies nicht auf die Linie beschränkt ist und für viele Diagramme eine ähnliche quadratische Beziehung zwischen der Quanten- und der klassischen Mischzeit angezeigt wird. Ich betrachte den eingeschränkten Fall der Linie, da ich denke, dass die Analyse einfacher ist.$\Theta(t)$$\Theta({t^{1/2}})$$t$

Wenn wir einem Quantenlauf Dekohärenz verleihen (entweder durch Messung oder durch Rauschen), verhält sich der Lauf klassischer. In der Tat, für die meisten Messungen, haben wir am Ende nur mit einem klassischen Spaziergang , dass die Spreads als , wenn von dem rechten Zeitplan betrachtet. Für andere Formen der Dekohärenz (wie das Dephasieren der Münze oder das Einfügen von Unvollkommenheiten in die Linie) gibt es normalerweise eine scharfe Schwelle, unterhalb derer sich der Gang quantitativ verhält (Ausbreitung als ) und oberhalb derer der Gang beginnt, klassisch zu sein ( verbreiten als ). Tatsächlich wurde diese Skalierung sogar als Definition eines Quantensprungs vorgeschlagen.$\Theta(t^{1/2})$$\Theta(t)$$\Theta(t^{1/2})$

Lange Version der Frage

Gibt es Dekohärenzmodelle für ein zufälliges Gehen auf der Linie, so dass wir, wenn wir den Dekohärenzbetrag variieren, eine Standardabweichung in der Position erreichen können, die für jede als skaliert ? Alternativ gibt es für andere Graphen mit einer Lücke in der Misch- oder Schlagzeit Dekohärenzformen, so dass wir für jedes die Misch- / Schlag- / Standardabweichung haben können, die als und wobei das klassische Mischen / Schlagen / STD ist und das reine Quantum ist. Wenn dies nicht möglich ist, gibt es einen tieferen Grund, warum wir dieses eine oder andere Verhalten sehen?1 / 2 ≤ k ≤ 1 f ( t ) f ∈ & Sigma; ( g ( t ) ) f ∈ O ( h ( t ) ) g ( t ) h ( t $\Theta(t^k)$$1/2 \leq k \leq 1$$f(t)$$f \in \Sigma(g(t))$$f \in O(h(t))$$g(t)$$h(t)$

Gute Frage. Tatsächlich tauchte dieselbe Frage in etwas auf, an dem ich vor einigen Monaten gearbeitet habe ( arXiv: 1011.1217 ). Es scheint, dass jede natürliche Art von Dekohärenz zu einem Verhalten führt, das zunächst balistisch aussieht, mit zunehmender Zeit jedoch diffus wird, sodass Sie zwischen einem Regime und einem t 1 wechseln$t$ Regime. Ein Beispiel hierfür finden Sie in Abbildung 2 des obigen Dokuments. Dies scheint das natürliche Verhalten zu sein, da Ihr Zustand allmählich an Kohärenz verliert.$t^{\frac{1}{2}}$

Dies scheint darauf hinzudeuten, dass die Varianz immer nur als oder t 2 skaliert und sich daher der Gang als t 1 ausbreitet$t$$t^2$ odert.$t^{\frac{1}{2}}$$t$

Genau dasselbe passiert jedoch in der Quantenmetrologie, wenn Rauschen eingeführt wird, das jedoch überwunden werden kann, um eine Zwischenskalierung zu erhalten (siehe zum Beispiel JA Jones et al., Science, 324, 5931 (2009), arXiv: 1103.1219 , arXiv: 1101.2561 , etc.). Dies kann unter anderem durch Zwischenmessungen erreicht werden.

Stellen Sie sich vor, Sie messen die Position des Läufers nach jeder Zeitspanne, in der die Wellenfunktion kollabiert, und lassen dazwischen eine freie Evolution zu. Stellen Sie sich nun vor, wir möchten das System für die Gesamtzeit t = n T weiterentwickeln . Dann wird die Varianz in der Position der Gehhilfe nach dieser Zeit wird Var ( x ( n - T ) ) = Σ n i = 1 Var ( x ( T ) ) = n Var ( x ( T ) $T$$t=nT$$\mbox{Var}(x(nT)) = \sum_{i = 1}^n \mbox{Var}(x(T)) = n \mbox{Var}(x(T))$. Wenn keine andere Dekohärenz vorliegt, bewegt sich der Läufer ballistisch, und daher ist , und somit ist Var ( x ( t ) ) = n T 2 . Da jedoch t = n T ist , können wir n ≤ t k und T ≤ t 1 - k nehmen . Somit ist Var ( x ( t ) ) = t $\mbox{Var}(x(T)) = T^2$$\mbox{Var}(x(t)) = n T^2$$t=nT$$n\propto t^k$$T\propto t^{1-k}$ . Auf diese Weise können Sie eine beliebige Zwischenskalierung erzielen, indem Sie das Messintervall entsprechend auswählen.$\mbox{Var}(x(t)) = t^{2-k}$