Was ist der Sinn der

Ich glaube, ich verstehe es nicht, aber Konvertierung erscheint mir als eine β- Konvertierung, die nichts bewirkt, ein Sonderfall der β- Konvertierung, bei der das Ergebnis nur der Begriff in der Lambda-Abstraktion ist, weil nichts zu tun ist. Art einer sinnlosen β- Umwandlung.$\eta$$\beta$$\beta$$\beta$

Vielleicht ist -conversion etwas sehr Tiefes und anderes, aber wenn ja, verstehe ich es nicht und ich hoffe, Sie können mir dabei helfen.$\eta$

(Vielen Dank und Entschuldigung, ich weiß, dass dies Teil der Grundlagen der Lambda-Rechnung ist.)

Update [20.09.2011]: Ich habe den Abschnitt über -Erweiterung und Extensionalität erweitert. Vielen Dank an Anton Salikhmetov für den Hinweis auf eine gute Referenz.$\eta$

Umwandlung ( λ x . f x ) = f ist ein Sonderfall der β- Umwandlungnurin dem Sonderfall, in dem f selbst eine Abstraktion ist, z. B. wenn f = λ y . y y dann ( λ x . f x ) = ( λ x . ( λ y . y y ) x ) = β ( λ x $\eta$$(\lambda x . f x) = f$$\beta$$f$$f = \lambda y . y y$Was aber, wenn f eine Variable oder eine Anwendung ist, die sich nicht auf eine Abstraktion reduziert?

$$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$$ $f$

In gewisser Weise ist -Regel wie eine spezielle Art von Extensionalität, aber wir müssen ein bisschen vorsichtig sein, wie das angegeben wird. Wir können Extensionalität angeben als:$\eta$

1. für alle Terme M und N , wenn M x = N x, dann ist M = N , oder$\lambda$$M$$N$$M x = N x$$M = N$
2. für alle wenn ∀ x . f x = g x dann f = g .$f, g$$\forall x . f x = g x$$f = g$

Die erste ist eine Meta-Aussage zu den Begriffen des Kalküls. Darin erscheint x als formale Variable, dh es ist Teil des λ- Kalküls. Es kann aus β η -Regeln bewiesen werden, siehe zum Beispiel Theorem 2.1.29 in "Lambda Calculus: its Syntax and Semantics" von Barendregt (1985). Es kann als Aussage über alle definierbaren Funktionen verstanden werden, also solche, die Bezeichnungen von λ- Termen sind.$\lambda$$x$$\lambda$$\beta\eta$$\lambda$

Die zweite Aussage ist, wie Mathematiker normalerweise mathematische Aussagen verstehen. Die Theorie von $\lambda$ Kalküls beschreibt eine bestimmte Art von Strukturen, nennen wir sie " Modelle$\lambda$ ". Ein Modell kann unzählig sein, daher gibt es keine Garantie dafür, dass jedes Element einem λ- Term entspricht (genau wie es mehr reelle Zahlen gibt als reelle Ausdrücke). Die Extensionalität sagt dann: Wenn wir zwei Dinge f und g in einem λ- Modell nehmen, wenn f x = g x für alle x im Modell, dann ist f = $\lambda$$\lambda$$f$$g$$\lambda$$f x = g x$$x$$f = g$. Selbst wenn das Modell die Regel erfüllt , muss es die Extensionalität in diesem Sinne nicht erfüllen. (Hier ist ein Hinweis erforderlich, und ich denke, wir müssen vorsichtig sein, wie Gleichstellung interpretiert wird.)$\eta$

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um und η- Umwandlungen zu motivieren . Ich werde zufällig die kategorietheoretische auswählen, die als λ- Kalkül verkleidet ist , und jemand anderes kann andere Gründe erklären.$\beta$$\eta$$\lambda$

Betrachten wir den typisierten Kalkül (weil er weniger verwirrend ist, aber für den untypisierten λ- Kalkül mehr oder weniger die gleiche Argumentation gilt). Eine der grundlegenden Gesetze, sollte hält das Exponentialgesetz C A × B ≅ ( C B ) A . (Ich verwende die Notationen A → B und B A austauschbar und wähle, was auch immer besser auszusehen scheint.) Was bewirken die Isomorphismen i : C A × B → ( C B ) A und j $\lambda$$\lambda$

$$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$$ $A \to B$$B^A$$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$ sehen aus wie in λ- Kalkül geschrieben? Vermutlich würden sie i = λ f : C A × B . λ a : A . λ b : B . f ⟨ a , b ⟩ und j = λ g : ( C B ) A . λ p : A × $j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$$\lambda$ $$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$$ Eine kurze Berechnung mit ein paar β -Reduktionen (einschließlich des β -Reduktionen π 1 ⟨ a , b ⟩ = a und π 2 ⟨ a , b ⟩ = b für Produkte) sagt unsdaß für jedes g : ( C B ) A wir haben i ( j g ) $$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$$ $\beta$$\beta$$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$$g : (C^B)^A$ Da i und j Umkehrungen voneinander sind, erwarten wir , i ( j g ) = g , aber tatsächlich beweisen wir verwenden müssen η -Reduktion zweimal: i ( j g ) = ( λ ein : A . Λ b : B . g a b ) = η $$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$$ $i$$j$$i (j g) = g$$\eta$ Dies ist also ein Grund für η- Reduktionen. Aufgabe:Welche η- Regel wird benötigt, um zu zeigen, dass j ( i f ) = f ist ? $$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$$ $\eta$$\eta$$j (i f) = f$

Zur Beantwortung dieser Frage können wir das folgende Zitat aus der entsprechenden Monographie „Lambda-Kalkül. Seine Syntax und Semantik “(Barendregt, 1981):

$\beta\eta$$\lambda$$\lambda + \text{ext}$$\text{ext}$$M x = N x \Rightarrow M = N$

$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[Sein Beweis basiert auf dem folgenden Theorem.]

$\lambda + \text{ext}$$\lambda\eta$$(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

$\lambda\eta$

$M$$N$$\lambda\eta \vdash M = N$$\lambda\eta + M = N$

HP-vollständige [nach Hilbert-Post] Theorien entsprechen maximal konsistenten Theorien der Modelltheorie für die Logik erster Ordnung.

Nur um Andrejs sehr gute Antwort zu ergänzen: die Theorie des Untyps $\lambda$$\beta$$\eta$

• $\lambda x y.x$$\lambda x y.y$ $\beta\eta$$\beta\eta$

• $\iota$
  

  1. $u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$

  2. $\beta\eta$$t$$u$$t=_\iota u$$t\neq_{\beta\eta}u$

$t$$u$$t=_{\beta\eta\iota}u$

Dies ist eine Konsequenz von Böhms Satz.

$\eta$

$=_{\beta \eta}$$\rightarrow_{\beta\eta}$$M=N$$\lambda x.M = \lambda x.N$$=_{\beta}$

$=_{\beta}$$=_{\beta\eta}$$\lambda x. Mx = M$$Mx=Nx$$M=N$