Was beschreibt die Nachfragefunktion einer Person?

Nun, dies scheint eine sehr einfache und unkomplizierte Frage zu sein, richtig? Von Wikipedia:

Die Nachfragekurve ist die Grafik, die die Beziehung zwischen dem Preis einer bestimmten Ware und der Menge darstellt, die der Verbraucher zu diesem Preis kaufen will und kann.

Für mich lautet das wie folgt: Für eine Person antwortet die Demand-Funktion für alle Werte von $ p $ auf die Frage: "Wenn der Preis $ p $ pro Einheit ist, wie viele Einheiten $ q (p) $ würde das sein? Einzelkauf? "

Als Beispiel betrachten wir meine persönliche Nachfragekurve $ q = 10-p $ für eine bestimmte Sache. Ich würde das auch mit der obigen Definition folgendermaßen interpretieren: Wenn der Preis 10 / Stück oder mehr beträgt, kaufe ich nichts. Bei 7 Stück kaufe ich 3 Stück.

Der große Punkt hier ist, dass dies scheinbar impliziert, dass ich 7 / Einheit zahlen würde jeder der 3 Einheiten. Ist das korrekt? Anders wäre es, wenn ich mit einer Situation konfrontiert wäre, in der ich für die ersten beiden Einheiten mehr bezahlen musste. In diesem Fall kaufe ich vielleicht weniger als 3 Einheiten. Und ich würde meiner Nachfragefunktion nicht widersprechen. Zumindest nicht, wenn es so wäre, wie ich die Definition interpretierte.

Alternative: Es scheint weniger nahe am Text zu liegen, der Mathematik jedoch viel bequemer, die Nachfragefunktion folgendermaßen zu interpretieren. Die Demand-Funktion beantwortet für alle Werte von $ q $ die Frage: "Wenn eine Person bereits $ q-1 $ -Einheiten hat, wie viel wäre er bereit, für die Einheit $ q (p) $ zu zahlen?" (oder als Ganzes "wenn eine Person bereits einen Betrag $ q $ hat, wie viel wäre $ p (q) $), mit $ p (q) dq $ der Betrag, den er für einen zusätzlichen Betrag $ dq zahlen möchte $? ").

Vielen Dank!

Die Nachfragefunktion sagt nicht aus, wie viel er bereit ist, für einen zusätzlichen Betrag dq zu zahlen. Die Demand-Funktion besagt: Wenn der Preis von good $ p $ ist, werden Sie $ Q (p) $ davon kaufen. Ich denke, Ihre Verwirrung liegt in der Tatsache, dass es möglich ist, für jede Einheit eines Gutes unterschiedliche Preise zu berechnen. Beachten Sie, dass unsere Theorie von einem Preis ausgeht, nicht von mehreren.

Darüber hinaus ist die Vorstellung, dass ein Konsumentenüberschuss die Differenz zwischen dem, was Sie bezahlt haben, und dem, was Sie zu zahlen bereit sind, misst, völlig falsch. Angenommen, die Anforderungsfunktion ist $ Q (p) = - 5p + 100 $. Nehmen wir weiter an, dass der Preis 5 $ beträgt, so dass Sie bei einer Menge von 75 $ kaufen würden. Der Konsumentenüberschuss ist: $$ CS = \ int_0 ^ 5Q (p) dp = \ int_0 ^ 5 -5p + 100dp = 562.5. $$ Wenn wir dies als Differenz zwischen dem, was Sie bezahlt haben, und dem, was Sie zu zahlen bereit sind, interpretieren Sie wissen, dass Sie bereit sind, $ 562.5 + 5 \ times75 = 937.5 $ für $ 75 $ zu zahlen. Mit anderen Worten, Sie sind bereit, einen Preis von 937,5 $ / 75 = 12,5 $ zu akzeptieren. Indem wir diese Zahl in unsere Nachfragefunktion einbinden, stellen wir fest, dass $ Q (12,5) = 37,5 $ ist, d. H. Sie sind nur bereit, 37,5 Einheiten des Gutes zu kaufen, was eindeutig unserer Interpretation des Konsumentenüberschusses widerspricht.

Für eine bessere Behandlung des Konsumentenüberschusses würde ich Ihnen empfehlen, weiterführende Texte zur Theorie der Mikroökonomie wie Mas-Colells oder Varians fortgeschritteneres Buch zu lesen.

In den Gesprächen mit Kun scheinen wir eine befriedigende Antwort gefunden zu haben.

TL; DR : Es ist, wie ich im letzten Absatz meiner Frage vorgeschlagen habe.

Lange Antwort :

Dies wird ein wenig übertrieben für eine Frage, die in wenigen Minuten nachgeschlagen werden könnte, aber es ist eine interessante Übung, um zu sehen, ob wir die richtige Antwort selbst finden.

Was versuchen wir noch einmal zu erreichen?

Wir haben

• Ein unendlich teilbares Gut
• Ein Verbraucher mit Nachfragefunktion $ q = Q (p) $ für diese Ware mit entsprechender inverser Nachfragefunktion $ p = P (q) $ Diese werden durch eine Kurve (die Nachfragekurve) in der $ q, p $ -Ebene beschrieben.

Wir versuchen festzustellen, ob ein Punkt $ (q, p) $ auf der Nachfragekurve beschreibt

• A. der Preis pro Einheit $ p $, den der Verbraucher für jede Einheit für die Gesamtmenge $ q $ zahlen möchte, oder

• B. der Preis pro Einheit $ p $, den der Verbraucher bereit ist, für einen zusätzlichen Betrag $ \ text {d} q $ zu zahlen, wenn er $ q $ -Einheiten besitzt.

Lassen Sie unsere These sein, dass es das Letztere ist, und lassen Sie uns sehen, ob wir in einen Widerspruch geraten.

Konsumentenrente

Nehmen wir die einfache Gerade $ p + q = 25 $, bei der ein konstanter Stückpreis von 5 eine Nachfrage von 20 vorschreibt:

Der Bereich zwischen der Nachfragekurve, $ p = 5 $ und $ q = 0 $, heißt Consumer Surplus CS, und wir können ihn durch Integration berechnen: $$ \ int_5 ^ \ infty Q (p) ~ \ text {d} p = \ int_5 ^ {25} (25-p) ~ \ text {d} p $$ Das ist das Gleiche wie $$ \ int_0 ^ {20} (P (q) -5) ~ \ text {d} q = \ int_0 ^ {20} \ big ((25-q) -5 \ big) ~ \ text {d} q $$ Letzteres zeigt, dass der Bereich als Unterschied zwischen dem, was der Verbraucher zahlen möchte, und dem, was er bezahlt, interpretiert werden kann - zumindest, wenn unsere These gültig ist und die Interpretation (b) gilt.

Wir stellen fest, dass der CS in diesem Fall 200 beträgt.

Unsere These kann helfen, dies zu interpretieren. Wenn der Preis 5 beträgt, kauft der Verbraucher so lange, bis die zusätzliche Menge, die er kaufen kann, nicht den zusätzlichen Nutzen von 5 bringt alles Einheiten zum Preis von 5, dies ist ein Vorteil: Er hätte für eine zusätzliche Einheit mehr bezahlt, wenn er noch weniger Einheiten gehabt hätte. Z.B. Wenn er nur noch 15 Einheiten hatte, hätte er 10 Stück für die zusätzliche Menge bezahlt.

Totale Zahlungsbereitschaft

Die Gesamtbereitschaft zur Zahlung von TWTP für eine Menge $ q $ (dh der maximal akzeptierte Preis für diese Menge) kann als Summe der Zahlungsbereitschaft für jede nachfolgende Einheit bis $ q $ (dh der maximal akzeptierte Preis pro Stück) berechnet werden Einheit für zusätzliche Einheiten): $$ TWTP (q) = \ int_0 ^ {q} WTP (q ') ~ \ text {d} q' $$

Um zu berechnen, wie viel unser Käufer (insgesamt) für diese 20 Einheiten maximal bezahlt hätte, müssen wir die Höchstpreise für jede einzelne Einheit addieren. Wenn unsere These korrekt ist und Interpretation (b) gilt, ist dies genau die inverse Anforderungsfunktion $ P $, so dass $$ TWTP = \ int_0 ^ {20} P (q ') ~ \ text {d} q' $$ Diese Gesamtbereitschaft für 20 Einheiten beträgt in unserem Fall 300.

Unter normalen Umständen tut dies der Käufer nicht brauchen um diesen Betrag für 20 Einheiten zu bezahlen, sondern $ 5 \ cdot20 = 100 $. Der Unterschied zwischen den beiden ist der CS von 200. Dies ist der Bereich oberhalb der $ p = 5 $ -Linie, den wir erwarten würden.

Wenn wir eine vollkommene Preisdiskriminierung haben, würde der Verkäufer der Ware die Nachfragekurve des Käufers kennen und ihm jede Einheit der Ware zu genau dem maximalen Preis verkaufen, den er dafür zahlen möchte. Der Preis sinkt allmählich mit dem marginalen Nutzen des Käufers: $ p = 25-q $. Auf diese Weise kann der Verkäufer die gesamte CS erfassen, und der Käufer würde 300 für die 20 Einheiten zahlen.

Wenn unsere These falsch ist

Diese Interpretation funktioniert nur, wenn unsere These korrekt ist und die inverse Anforderungsfunktion $ P $ die Zahlungsbereitschaft für jede weitere Einheit beschreibt. Wenn es die Zahlungsbereitschaft pro Einheit beschreibt und alles vorhergehende Einheiten, d. h. Interpretation (a), unterscheiden sich die Dinge. In diesem Fall ist das TWTP für $ q $ -Einheiten einfach die Multiplikation von $ q $ und $ P (q) $: $$ TWTP (q) = q \ cdot P (q) $$ Um herauszufinden, wie viel zu nicht einheitlichen Preisen gekauft werden würde, müssen wir die Zahlungsbereitschaft für jede Einheit ermitteln. Dieses WTP ist, wie aus der ersten Gleichung ersichtlich, die Ableitung des TWTP, also in diesem Fall: $$ WTP (q) = \ frac {\ text {d}} {\ text {d} q} qP (q) = \ frac {\ text {d}} {\ text {d} q} (25q-q ^ 2) = 25-2q $$ Die erste Menge wird also wie zuvor zu einem Stückpreis von 25 verkauft. Dies ist sinnvoll, da der Käufer noch keine Anteile hat, daher entspricht der Grenzpreis dem Durchschnittspreis. Bei perfekter Preisdiskriminierung sollte der Preis der Ware jedoch doppelt so schnell fallen, wie wir zuvor berechnet haben. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die zusätzliche Einheit $ \ text {d} q $, die der Verkäufer zu verkaufen versucht, keinen marginalen Nutzen hat, der durch den Preis (wie in der Auslegung (b)) gegeben ist, sondern durch die Erhöhung des Gesamtpreises. ¹ In dieser Situation verkauft der Verkäufer seine letzte Einheit zu einem Preis von 5, dh wenn er nur 10 Einheiten verkauft hat (verglichen mit 20, wenn Interpretation (b) korrekt ist). Der Käufer hat dann $ \ int_0 ^ {10} (25-2q) ~ \ text {d} q = 150 $ ausgegeben, was seinem TWTP entspricht, jedoch für 10 Einheiten. Auch das macht Sinn: Die Nachfragekurve schreibt einen maximal akzeptierten (durchschnittlichen) Stückpreis von 15 vor - und genau das wird bezahlt.

Was wir nirgendwo sehen können, ist die Zahl 200, also der Bereich oberhalb der $ p = 5 $ -Linie. Tatsächlich ist der Verbrauchsüberschuss, der bei Interpretation (b) 200 betrug, bei Interpretation (a) tatsächlich 0 - allein aufgrund der Art und Weise, wie die inverse Nachfragefunktion als maximaler durchschnittlicher Stückpreis definiert wird: Wenn wir einen einheitlichen Preis haben, ist der Preis der Durchschnittspreis, und der Käufer hat einen Anreiz, mehr zu kaufen, solange seine Zahlungsbereitschaft höher ist als der Preis. Wenn er genau die Menge $ q $ kauft, die in seiner Nachfragekurve dem angebotenen Preis $ p $ entspricht, entspricht der durchschnittliche Preis, den er zu zahlen bereit ist, dem angebotenen Preis. Weil der Durchschnittspreis, den er zu zahlen bereit ist, mal die Menge, der Gesamtpreis ist, den er für diese Menge zahlen möchte, und weil dies auch dem Preis entspricht, den er bezahlt ist An diesem Punkt in der Kurve bezahlt, ist sein CS 0.

Fazit

Um eine sinnvolle Interpretation des Bereichs zwischen der Nachfragekurve, $ p = 5 $ und $ q = 0 $, genannt Consumer Surplus CS, zu erhalten, müssen wir die inverse Nachfragefunktion folgendermaßen interpretieren: " der Preis pro Einheit $ p $, den der Verbraucher bereit ist, für einen zusätzlichen Betrag $ \ text {d} q $ zu zahlen, wenn er $ q $ -Einheiten besitzt "(b). Die gemeinsame Interpretation (a) als " der Preis pro Einheit $ p $, den der Verbraucher für jede Einheit für die Gesamtmenge $ q $ zahlen möchte "ist falsch. Es ist jedoch leicht zu erkennen, warum es oft so interpretiert wird. Erstens ist es eine einfachere Interpretation, die einfacher zu visualisieren ist, und zweitens prognostiziert es in alltäglichen Situationen - die alle einheitliche Preise haben - immer noch die Prognose richtige Menge, die gehandelt werden soll.

Fußnoten:

1: Dies gibt uns einen anderen Weg, um zur Formel zu kommen. Betrachten Sie den Käufer, der eine Menge $ q $ kauft, wenn der Durchschnittspreis pro Einheit $ P (q) $ beträgt. Wenn er eine Menge $ q + \ text {d} q $ kauft, wenn der Preis pro Einheit $ P (q + \ text {d} q) $ ist, steigen die Gesamtkosten um $ P (q + \ text {d} q). P (q) $. Dies bedeutet, dass die zusätzliche Einheit $ \ text {d} q $ verwendet wird. Der Grenznutzen pro Einheit ist also $ \ frac {(q + \ text {d} q) \ cdot P (q + \ text {d} q) -q \ cdot P (q)} {\ text {d} q} $. Mit der inversen Demand-Funktion $ P (q) = 25-q $ ergibt sich ein Wert von 25-2q $.

Ihre Analyse, was die Nachfragekurve darstellt, ist korrekt. Ihre Verwirrung rührt von der zu vereinfachten Anforderungsfunktion her, die Sie gewählt haben. Eine "echte" Demand-Funktion würde eher so aussehen:

Ihre Gleichung reicht aus, um zu untersuchen, was in der Mitte der Kurve geschieht, aber nicht an den Schwänzen.

Die oberen Schwänze haben eine solche Form, dass Sie tatsächlich einige Einheiten kaufen würden, auch wenn der Preis stark ansteigt. Aber je mehr es steigt, desto weniger ändert sich Ihre angeforderte Menge. Das liegt daran, dass das Produkt für Sie von Nutzen ist, sodass Sie bereit sind, für eine Einheit einen relativ hohen Preis zu zahlen. Je niedriger der Preis, desto mehr können Sie kaufen. Aber je mehr Einheiten Sie kaufen, desto weniger Nutzen bringt es Ihnen. Während Sie wirklich gerne einen Apfel essen möchten, wette ich, dass der 100ste nicht so gut schmecken wird wie der erste, und Sie könnten angewidert sein. Deshalb geht die Kurve nicht unendlich, wenn der Preis gleich Null ist. Wenn Sie einen bestimmten Punkt erreichen, wächst Ihre Nachfrage nach Apfel nicht mehr.