Wenn die optimale Steuerung fehlschlägt (?)

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Um "meine Frage zu stellen", muss ich zuerst ein Modell lösen. Ich werde einige Schritte auslassen, aber das wird diesen Beitrag unvermeidlich sehr lang machen - also ist dies auch ein Test, um zu sehen, ob diese Community solche Fragen mag.

Bevor ich anfange, möchte ich klarstellen, dass dies in der ununterbrochenen Zeit wie ein klassisches neoklassisches Wachstumsmodell aussehen mag, aber nicht : Es handelt sich um ein einzelnes Individuum, das niemanden in der Wirtschaft um sich herum "repräsentiert", eine Wirtschaft, die ist nicht modelliert. Der Rahmen ist hier "Anwendung von Optimal Control auf das Maximierungsproblem eines einzelnen Individuums". Hier geht es um das Framework und die Methode der Optimal Control-Lösung.

Wir lösen das intertemporale Nutzenmaximierungsproblem eines Kleinunternehmers, der das Kapital seiner Firma besitzt, während er auf einem perfekt umkämpften Arbeitsmarkt Arbeitsleistungen erwirbt und sein Produkt (frische Donuts) auf einem perfekt umkämpften Warenmarkt verkauft. Wir setzen das Modell in kontinuierlicher Zeit ohne Unsicherheit (die sozioökonomischen Bedingungen sind stabil) und mit unendlichem Horizont (der Geschäftsmann stellt sich viele zukünftige Kopien von ihm in einer Reihe vor):

maxc,,k0eρtlncdts.t.k˙=f(k,)wδkclimteρtλ(t)k(t)=0

wobei der Verbrauch des Unternehmers ist, unmittelbare Nutzen aus dem Verbrauch ist, die Rate der reinen Zeitpräferenz ist, das Kapital des Unternehmens ist, die Kapitalabschreibungsrate ist und ist die Produktionsfunktion des Unternehmens. Das Anfangskapital ist . Die eigene Beschäftigung des Unternehmers mit dem Geschäft wird in das Kapital subsumiert. Die Produktionsfunktion ist klassizistisch (konstante Skalenerträge, positive Randprodukte, negative zweite Teiltöne, Inada-Bedingungen). Die Einschränkungen sind das Kapitalbewegungsgesetz und die Transversalitätsbedingung unter Verwendung des aktuellen Wertmultiplikators. clncρ>0kδf(k,)k0

Aktuellen Wert Hamiltonian einstellen

H^=lnc+λ[f(k,)wδkc]

Wir berechnen die Bedingungen erster Ordnung

H^c=01c=λc˙c=λ˙λ

H^=0λ[fw]=0f=w

H^k=ρλλ˙λ[fkδ]=ρλλ˙

und wenn wir sie kombinieren, erhalten wir das Gesetz der Entwicklung des Konsums unseres Unternehmers,

(1)c˙=(fkδρ)c

Aus der optimalen Regel für den Arbeitsbedarf (statisch) und der Konstanten-Rückkehr zur ( ) erhalten wir . Einfügen in das Gesetz der Kapitalbewegung erhalten wirf = f k k + f f - w = f k k:f=wf=fkk+ffw=fkk

(2)k˙=fkkδkc

Die Gleichungen und bilden ein Differentialgleichungssystem. Die stationären Werte für den Verbrauch und das Kapital des Unternehmers sind( 2 )(1)(2)

(3)c=fkkδk,k:fk=δ+ρ

(3a)c=ρk

... das ist ein ziemlich vertrauter Ausdruck.

k wird manchmal als "modifizierte goldene Regel" des Kapitals bezeichnet. Der Jacobi des Systems, der bei den stationären Werten ausgewertet wird, hat eine negative Determinante für jeden Wert der Modellparameter , was eine notwendige und ausreichende Bedingung für das System ist, um Sattelpfadstabilität zu zeigen.

Das Maximum des Locus befindet sich am Punkt (manchmal als "goldene Regel" bezeichnet). ˜ kk˙=0k~

(4)k~:fkk(k~)k~+fk(k~)δ=0fk(k~)=δfkk(k~)k~

Der Wert ist wichtig als Benchmark: Es ist der Kapitalpegel, bei dem und auf einem Maximum sind (nicht optimal oder stationär ).˙ k =0ck~k˙=0c

Die Loci kreuzen die horizontale Achse des Phasendiagramms (das das Kapital misst) auf dem stationären Kapitalniveau .k*c˙=0k

Wenn , für die aufgrund negativer zweiter Teiltöne erforderlich ist , kommt es zu einer "Überanhäufung von Kapital" (zu viele Doughnuts). staatlicher Konsum mit geringerem Kapitalanteil. Mit und wir f k < f k ( ˜ k ) ( 3 ) ( 4 )k>k~fk<fk(k~)(3)(4)

fk<fk(k~)δ+ρ<δfkk(k~)k~

(5)ρ<fkk(k~)k~

Die Ungleichung ist die Voraussetzung für ein nicht optimales Gleichgewicht des Kapitals. Und die Sache ist, wir können es nicht ausschließen . Es setzt lediglich voraus, dass der Geschäftsmann "ausreichend geduldig" ist, mit einer ausreichend geringen Präferenz für reine Zeit, aber immer noch positiv.(5)

Hier setzt das Problem an: Eine Überakkumulation von Kapital ist im repräsentativen Agentenmodell effektiv ausgeschlossen. Es ist in überlappenden Generationsmodellen möglich, aber als unbeabsichtigte Folge auf makroökonomischer Ebene eines der frühesten Beispiele dafür, dass die Makroökonomie möglicherweise mikrogegründet ist und sich dennoch anders verhält als die Mikrowelt.

Aber unser Modell fällt in keine Kategorie: Es ist ein partielles Gleichgewichtsmodell eines einzelnen Agenten in einer implizit heterogenen Umgebung - und das allgemeine Gleichgewicht hier ändert nichts an den Ergebnissen: Diese Person repräsentiert nur sich selbst. Das Problem ist also, dass, wenn gilt, die Optimal Control-Lösung offensichtlich suboptimal sein wird , weil wir hier eine einzelne Person, einen einzelnen Willen, einen einzelnen Verstand haben: Wenn wir uns die Lösung ansehen, wird unser Geschäftsmann sagen: hey, diese methode ist wertlos, wenn ich ihrem rat folge, bekomme ich ein suboptimal hohes kapital ". (5)

Und ich bin nicht zufrieden, einfach zu sagen: "Nun, Optimal Control ist nicht für dieses Problem geeignet, probieren Sie eine andere Methode", weil ich nicht sehe, warum wir es für ungeeignet halten sollten. Aber wenn es geeignet ist, dann sollte das Verfahren signalisieren , dass etwas nicht in Ordnung ist, es an einem gewissen Punkt sollte verlangen , dass ist nicht zu halten, um in der Lage sein , eine Lösung anbieten zu können (wenn es so den passiert nicht halt, alles sieht gut aus).( 5 )(5)(5)

Man könnte sich fragen: "Vielleicht wird die Transversalitätsbedingung verletzt, wenn gilt?" -aber es sieht nicht so aus, da , was zu einer positiven Konstante geht, während geht Null, wobei nur diese erforderlich ist .λ(5)e - & rgr ; t & rgr; > 0λ(t)k(t)=k(t)/c(t)eρtρ>0

Meine Fragen:

1) Kann hier jemand einen Einblick geben?

2) Ich wäre dankbar, wenn jemand dieses Problem mit Dynamic Programming lösen und die Ergebnisse melden würde.

ADDENDUM
Aus mathematischer Sicht besteht der entscheidende Unterschied dieses Modells darin, dass das optimierte Gesetz der Kapitalbewegung, Gl. beinhaltet nicht die gesamte Ausgabe wie im Standardmodell, sondern nur die Rendite zum Kapital . Und dies geschieht, weil wir Eigentumsrechte an der Ausgabe getrennt haben, was im Rahmen des "individuellen Geschäftsmaximierungsproblems" zu erwarten ist.f ( k ) f k k(2)f(k)fkk

Alecos Papadopoulos
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Ich bin mir nicht sicher, was du meinst, wenn du sagst "das Maximum des kdot = 0 locus". Maximal in Bezug auf was? Sollten Sie bei der Berechnung von (4) nicht völlig differenzieren (2) - dh sollten Sie nicht auch die Änderung von c berechnen, die erforderlich ist, um sicherzustellen, dass kdot = 0 nach der Änderung von k noch erfüllt ist?
Allgegenwärtig
@Ubiquitious Maximum in Bezug auf das Kapital. Genau so werden Phasendiagramme gezeichnet, aber auch diese Berechnungen konnte ich hier nicht einbeziehen. Für die zweite Frage: ergibt sich aus der Einstellung von in und dem Ausdruck des Verbrauchs als Funktion des Kapitals, ( nicht beim stationären Wert bewertet). Um die Form dieses Ortes zu erhalten, differenzieren wir ihn nach dem Kapital. ˙ k = 0(4)k˙=0c = f k k - δ k(2)c=fkkδk
Alecos Papadopoulos
Ich habe das Ganze noch nicht überprüft, aber ein Problem, das ich sehe, ist, dass die Arbeitsoptimalitätsbedingung (unter CRS) das Verhältnis von Kapital zu Arbeit bestimmt, was wiederum das Grenzprodukt des Kapitals bestimmt, das somit auf dem optimalen Weg konstant sein wird. Das Modell entspricht dann dem Standardproblem der Verbrauchsersparnis bei exogenem Zinssatz. Wenn also MPK - Delta> Rho, wächst der Verbrauch des Agenten mit konstanter Rate (dh es gibt keinen stabilen Zustand).
ivansml
@ivansml. Vielen Dank für Ihren Beitrag. Die Lösung besagt aber nicht, dass . Der stationäre Zustand befindet sich an dem Punkt, an dem , Gl. . Das Problem ist, welcher Kapitalebene dieser Steady-State entspricht und ob er über oder unter der Ebene der "goldenen Regel" . f k - δ = ρ ( 3 ) ˜ kfkδ>ρfkδ=ρ(3)k~
Alecos Papadopoulos
Erst jetzt ist mir aufgefallen, dass diese Frage ziemlich alt ist ... hoffe, das spielt keine Rolle. Zurück zum Thema - muss vom Labor-FOC bestimmt werden. Ein stationärer Zustand liegt nur vor, wenn dieser Wert von auch gleich , dh durch Zufall (oder eine allgemeine Gleichgewichtsüberlegung). Wenn es höher ist, wird der Agent unbegrenzt Kapital ansammeln und sein Verbrauch wächst, wenn es niedriger ist, wird er Kapital dekumulieren und sein Verbrauch sinkt. Es ist wirklich alles auf die CRS-Annahme zurückzuführen - die "Umsatz" -Funktion ist in linear, sobald das Unternehmen über die Arbeit optimiert, sodass ein stetiges Wachstum möglich ist. f k ρ + δ f ( k , ) - w fkfkρ+δf(k,)wk
ivansml

Antworten:

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Ich glaube, das Problem ist, dass der stationäre Zustand möglicherweise nicht existiert und das System stattdessen ein stetiges Wachstum aufweist (abhängig von den Parametern).

Der Grund dafür ist, dass das Modell dem Standardproblem der Verbrauchsreduzierung mit exogenem und konstantem Zinssatz entspricht. Betrachten Sie dazu zunächst die Bedingung erster Ordnung für die Arbeitswahl (hier ist eine partielle Ableitung von für das te Argument). Unter Verwendung der Definition von konstanten Erträgen ist das Grenzprodukt der Arbeit was nur eine Funktion des Verhältnisses von Kapital und Arbeit ist. Wenn der Lohn konstant ist, bestimmt das Labor FOC eindeutig das optimalef i f i f2(k,)=wfifik/w

f(k,)=[f(k,1)]=f1(k,1)k+f(k,1)
k/Verhältnis in Abhängigkeit von Lohn und anderen Parametern. Da das Grenzprodukt von Kapital hängt auch von ab und ist auf dem optimalen Pfad konstant. Bezeichne diesen Wert des Grenzprodukts und bezeichne das Renditenetz der Abschreibung . Die Gleichungen (1) - (2) für die Dynamik von Kapital und Verbrauch lauten dann und Die spezifische Lösung, die die Transversalitätsbedingung erfüllt, solltew k / r r= r -δ ˙ c t
kf(k,)=k[f(k,1)]=f1(k,1)
k/rr=rδ ct=ρktk0(r-ρ)w
c˙t=(rρ)ctk˙t=rktct
ct=ρktbei gegebenem wird also zu jedem Zeitpunkt ein konstanter Teil des Reichtums verbraucht. Sowohl das Kapital als auch der Konsum wachsen mit der Rate , so dass es keinen stabilen Zustand gibt, es sei denn, die Kapitalrendite (die hier von der exogenen Lohnrate abhängt ) entspricht der Zeitpräferenzrate.k0(rρ)w
ivansml
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(+1) Danke. Ich nehme das jetzt in eine Antwort von mir auf.
Alecos Papadopoulos
gute Antwort. Wenn die Arbeit optimal ausgewählt ist, wird die Gewinnfunktion im Kapital linear - so dass sich dieses Modell zu einem AK-Modell zusammensetzt, dessen Eigenschaften (einschließlich des stetigen Wachstums) gut verstanden werden.
nominell starren
@nominallyrigid Aber nur wenn wir davon ausgehen, dass der Lohn konstant bleibt . Denken Sie daran, dass dies kein allgemeines Gleichgewicht ist, sondern nur eine winzige Person, die im Ozean der Wirtschaft schwimmt.
Alecos Papadopoulos
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Ich poste dies als Antwort, da es bei der Antwort von Benutzer @ivansml fortgesetzt wird. Dies ist die Antwort, die den Fang hier identifiziert hat, einen Fang, den ich naiv übersehen habe (obwohl es sich um einen engen Fall handelt, während der interessante Gleichheitsfaktor nachher kommt. Trotzdem hätte damit umgegangen werden sollen).

Tatsächlich wird bei einer exogenen Lohnquote und einer konkurrenzfähigen Optimierung der Arbeitsnachfrage das Grenzprodukt des Kapitals nur durch die Parameter des Modells und die Lohnquote bestimmt. Für den einfachen Fall, dass wir davon ausgehen, dass die Lohnrate konstant ist, gilt die Analyse von @ivansml: Das Modell wird zu einem Modell für endogenes Wachstum : Das Grenzprodukt des Kapitals ist konstant, was für endogenes Wachstum erforderlich ist, wenn es kein stabiles gibt Zustand in Ebenen .

Mit und können die Gleichungen und des OP geschrieben werdenc^=c˙/c(1)(2)k^=k˙/k(1)(2)

k = f k - δ - c / k

(1b)c^=fk-δ-ρ
(2b)k^=fk-δ-c/k

Da konstant ist, ist die Wachstumsrate des Verbrauchs konstant - null, positiv oder negativ, abhängig von den Parametern und dem Lohn. Zum anderen erhalten wir die zeitliche Differenzierung ( 2 b )fk(2b)

k^˙=(k^-c^)(c/k)

und es ist offensichtlich, dass wir für ein stetiges Wachstum , was aus nur erhalten wird, wenn . Es ist leicht zu überprüfen, dass, da , die einzige Möglichkeit, die die Transversalitätsbedingung erfüllt, darin besteht, dass Konsum und Kapital mit der gleichen Geschwindigkeit wachsen oder schrumpfen (oder konstant bleiben).k^=c^c = ρ k λ ( t ) = c ( t )(2b)c=ρkλ(t)=c(t)

In endogenen Wachstumsmodellen, in denen wir die gesamte Wirtschaft untersuchen, gehen wir einfach davon aus, dass die Parameter des Modells so sind, dass eine positive Wachstumsrate vorliegt, da wir dies in der realen Welt beobachten. Aber hier haben wir nur eine Person. Also, was sagen wir vielleicht unserem Geschäftsmann?

Wenn , ist die Wachstumsrate positiv und sowohl sein Verbrauch als auch sein Kapital sollten "für immer" wachsen, wobei ein konstantes Verhältnis beibehalten wird. Wenn , ist die Wachstumsrate Null und beide Variablen bleiben für immer konstant. Wenn , ist die Wachstumsrate negativ, und wir sollten in eine Abwärtsspirale mit abnehmendem Verbrauch und Kapital eintreten (wobei immer die Beziehung beibehalten wird ).fk-δ-ρ>0
f k - δ - ρ < 0 c = ρ kfk-δ-ρ=0
fk-δ-ρ<0c=ρk

Dies hat eine gewisse Intuition, die die Angemessenheit der Anwendung von Optimal Control bestätigt: Je größer die "Ungeduld" (je größer ist), desto wahrscheinlicher wird es, dass der Einzelne ein sinkendes Verbrauchsniveau erfährt, da Die Zukunft und damit die Investition sind nicht sehr nach seinem Geschmack. Natürlich mag eine monotone Abwärtsspirale als Lösung nicht sehr realistisch klingen - aber dies ist ein sehr stilisiertes Modell, das im Wesentlichen allgemeine Tendenzen in einer notwendigerweise sehr formalen mathematischen Sprache liefert. ρ

Der wirklich interessante Teil beginnt, wenn wir einen variablen Lohn betrachten . Dies kann für unseren kleinen Geschäftsmann und seine Konsum-Investitionsentscheidungen eine Vielzahl interessanter und komplizierter Dynamiken erzeugen.

Alecos Papadopoulos
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4

Ich denke, die Schlüsselfrage ist, ob dieses Unternehmen das einzige Unternehmen in der Wirtschaft ist. Wenn dies der Fall ist, ist es nicht mehr richtig, als gegeben zu betrachten, da von seiner eigenen Kapitalakkumulationsentscheidung beeinflusst wird. In diesem Fall sollten Sie die Ersetzungen vornehmen, die Sie vor Ihrer Gleichung (2) beim Einrichten des Hamilton-Operators vorgenommen haben. Wenn dies andererseits eines von vielen Unternehmen ist, so dass der Lohnsatz exogen ist, dann sind die Substitutionen vor Gl. (2) sind ungültig. Ich denke, Sie müssen sorgfältig zwischen Big , dem Gesamtkapital der Wirtschaft, und Little dem von diesem Entscheidungsträger gewählten Kapital, unterscheiden.w k kwwkk

Jyotirmoy Bhattacharya
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Ich schaue streng genommen auf eine einzelne Firma, die zu klein bleibt, um das Aggregat zu beeinflussen. Ihr zweiter Kommentar ist also relevant, wenn Sie sagen, dass "die Substitutionen vor den Gleichungen (2) nicht gültig sind". Ich verstehe nicht warum. Können Sie das bitte näher erläutern (am besten formal)? Vielen Dank.
Alecos Papadopoulos
@AlecosPapadopoulos Ich denke, das Problem ist nicht mathematisch, sondern eine Interpretation. Wenn meine Firma zu klein ist, um die Wirtschaft zu beeinflussen, warum sollte es dann sein, dass oder für meine Firma ist, unabhängig von dem von mir , was die Annahme zu sein scheint, die in den von Ihnen zuvor vorgenommenen Substitutionen impliziert ist (2 ) und dann Differenzieren der RHS der Gleichung in Bezug auf . r = f k k ˙ kw=flr=fkkk˙k
Jyotirmoy Bhattacharya
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@JyotirmoyBhattacharya, das ist ein Standardergebnis aus der Annahme von Wettbewerbsmärkten.
FooBar
@FooBar In einem umkämpften Markt wählen Sie und , um und . Die Bedingungen gelten nicht für beliebiges und . l w = f l r = f k l kklw=flr=fklk
Jyotirmoy Bhattacharya
Ok, ich muss doch den Hamiltonianer schreiben und das noch länger machen.
Alecos Papadopoulos