Bernoulli-Transformation in „Eine enge Lösung für das Ramsey-Modell“ von Smith (2006)

3

Ich versuche zu verstehen, wie Smith von (1) und (2) zu (6) und (8) gekommen ist.

Könnte mir jemand einen Tipp geben? Vielen Dank!

Es ist bekannt, dass die Dynamik des Pro-Kopf-Verbrauchs $ c $ und des Kapitals $ k $ durch das folgende Differentialgleichungspaar bestimmt wird:   \ begin {eqnarray} \ dot {k} & amp; = & amp; k ^ \ alpha - \ delta k - c \ tag {1} \\ \ frac {{\ dot c}} {c} & amp; = & amp; \ sigma (\ alpha k ^ {\ alpha - 1} - \ delta - \ rho) \ tag {2} \ end {eqnarray} Eine Lösung

Das Gleichungssystem (1) - (2) ist erschreckend nichtlinear. Um sich einer Lösung zu nähern, definieren Sie das Kapital-Output-Verhältnis (eine Bernoulli-Transformation) durch $ z = k ^ {1- \ alpha} $ und das Konsum-Kapital-Verhältnis durch $ x = c / k $. Mit diesen Transformationen kann das System umgeschrieben werden als   \ begin {eqnarray} \ dot {z} & amp; = & amp; (1- \ alpha) [1 - (\ delta + x) z] \ tag {6} \\ \ frac {{\ dot x}} {x} & amp; = & amp; \ frac {\ sigma \ alpha - 1} {z} + \ delta (1 - \ sigma) - \ rho \ sigma + x \ tag {7} \ end {eqnarray}   Die Bernoulli - Transformation konvertiert die Kapitalakkumulationsgleichung [Gleichung (1)] in die linear wenn auch nicht autonome Differentialgleichung in Gleichung (6). Trotz dieser Vereinfachung lässt das System keine analytische Lösung zu. Gleichung (7) ist immer noch nicht linear.

Nehmen wir jedoch an, dass $ \ sigma = 1 / \ alpha $. In diesem Fall verschwindet $ z $ aus Gleichung (7) und das System wird rekursiv: Gleichung (7) wird auf reduziert   $$ \ frac {\ dot {x}} {x} = - \ frac {\ delta (1- \ alpha) \ rho} {\ alpha} + x \ tag {8} $$   während sich $ z $ gemäß Gleichung (6) entwickelt, wenn der in Gleichung (8) bestimmte Forcierungsprozess $ x $ gegeben ist. Dies ist eine einfache, autonome logistische Gleichung.

Zitat: Smith, William. (2006). Eine Closed Form-Lösung für das Ramsey-Modell. Beiträge zur Makroökonomie. 6.

OST_EE
quelle

Antworten:

2

Wenn $ z = k ^ {1- \ alpha} $ dann

\ begin {eqnarray} \ dot {z} & amp; = & amp; (1- \ alpha) k ^ {1- \ alpha-1} \ dot {k} = (1- \ alpha) k ^ {- \ alpha} \ dot {k} \\ & amp; = & amp; (1- \ alpha) k ^ {- \ alpha} [k ^ {\ alpha} - \ delta k - c] \\ & amp; = & amp; (1- \ alpha) [1 - \ delta k ^ {1- \ alpha} - c k ^ {- \ alpha} \ color {blue} {(k / k)}] \\ & amp; = & amp; (1 - & agr;) [1 - & dgr; z - c (k ^ {1 - & agr;}) / k] \\ & amp; = & amp; (1 - & agr;) [1 - & dgr; z - x z] \ end {eqnarray}

Ich lasse $ \ dot {c} / c $ für Sie arbeiten

caverac
quelle
Vielen Dank. Mein Problem war, dass ich die Kettenregel in der ersten Reihe verpasst habe.
OST_EE