Kann das Sicherheitsäquivalent eines risikoaversen Agenten niedriger sein als das niedrigstmögliche Ergebnis eines Glücksspiels?

Angenommen, es gibt einen Agenten, der dem folgenden Glücksspiel ausgesetzt ist:

• 50 $ mit Wahrscheinlichkeit 1/3
• 100 $ mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3
• 150 $ mit Wahrscheinlichkeit 1/3

Offensichtlich ist das E [g] = 100 $ . Da der Agent risikoavers ist, würden wir erwarten, dass U (E [g]) <U (CE) ist, wobei CE das Äquivalent für die Sicherheit ist. Nun, meine Frage ist, ist es hypothetisch möglich, dass das Sicherheitsäquivalent des Agenten für dieses Glücksspiel unter 50 $ liegt , oder ist es notwendigerweise wahr, dass es irgendwo zwischen 50 $ und 100 $ liegt ?

$U(E[g]) < U(CE)$$CE$

$G$

$$U(CE) \equiv \sum_{i=1}^3p_iU(g_i) = E[U(G)] < U[E(G)]$$

$U()$

$$CE < E(G)$$

$E(G)$

$CE < \min G$

Die Antwort lautet: Nein. Nehmen Sie an, dass die Spielergebnisse sortiert sind, also .$\min G = g_1$

Ad absurdum sei angenommen , dass gilt. Dann werden wir haben$CE < g_1$

$$U(CE) < U(g_1)$$

Mit der Definition von ersetzen wir die linke Seite$CE$

$$\sum_{i=1}^3p_iU(g_i) < U(g_1) \implies p_2U(g_2) + p_3U(g_3) < (1-p_1) U(g_1)$$

$$\implies p_2U(g_2) + p_3U(g_3) < p_2U(g_1) + p_3U(g_1)$$

$$\implies p_2[U(g_2)-U(g_1)] + p_3[U(g_3)-U(g_1)] < 0$$

Dies ist aber unmöglich, da und so$g_1 = \min\{g_1,g_2, g_3\}$

U ( g 3 ) - U ( g 1 ) > $U(g_2)-U(g_1) >0$ und .$U(g_3)-U(g_1) >0$

wir also annehmen, dass wir in eine unmögliche Situation geraten, und deshalb kann es nicht gelten.$U(CE) < U(g_1)$

Intuitiv ist das schlechteste Ergebnis des Spiels, die minimale Auszahlung zu erhalten - auch wenn es risikoavers ist, wäre es irrational, weniger als das schlechteste Ergebnis zu akzeptieren, da es sich dann sicherlich verschlechtern würde als im Glücksspiel zu sein. Beachten Sie, dass "Risikoaversion" nicht "um jeden Preis alles Risiko abbauen" bedeutet.

Die Lotterie, die Sie zeigen, ist gleichbedeutend mit zwei Lotterien: Eine, bei der Sie mit Sicherheit 50 US-Dollar erhalten , und eine, bei der folgende Gewinne erzielt werden:

• $ 0 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3
• $ 50 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3
• $ 100 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3

$\geq 50$