Verursacht Risikoaversion einen abnehmenden Grenznutzen oder umgekehrt?

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Sei die Menge möglicher Zustände der Welt oder mögliche Vorlieben, die eine Person haben könnte. Lassen G ( A ) die Menge der „Gambles“ oder „Lotterie“, dh die Menge von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über A . Dann hätte jede Person eine bevorzugte Reihenfolge der Zustände in A sowie eine bevorzugte Reihenfolge der Lotterien in G ( A ) . Das von Neumann-Morgenstern-Theorem besagt, dass Ihre Präferenzen unter der Annahme, dass Ihre Präferenzordnung gegenüber G ( A ) bestimmten Rationalitätsaxiomen folgt, durch eine Nutzenfunktion u : A → dargestellt werden könnenAG(A)AAG(A)G(A) . (Diese Funktion ist bis zur Multiplikation von Skalaren und Addition von Konstanten einzigartig.) Das bedeutet, dass Sie für zwei beliebige Lotterienundindanngegenüberbevorzugen,wenn der erwartete Wert vonuntergrößer ist als der erwartete Wert vonunter. Mit anderen Worten, Sie maximieren den erwarteten Wert der Dienstprogrammfunktion.u:AL 2 G ( A ) L 1 L 2 u L 1 u L 2L1L2G(A)L1L2uL1uL2

Nur weil Sie den erwarteten Wert Ihrer Utility-Funktion maximieren, bedeutet dies nicht, dass Sie den erwarteten Wert tatsächlicher Dinge wie Geld maximieren. Schließlich sind Menschen oft risikoscheu; Sie sagen, "ein Vogel in der Hand ist zwei im Busch wert". Risikoaversion bedeutet, dass Sie ein Glücksspiel weniger wertschätzen als erwartet. Wenn wir diesen Begriff in Bezug auf die von Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion ausdrücken, erhalten wir durch Jensens Ungleichung das folgende Ergebnis: Eine Person ist genau dann risikoscheu, wenn ihre Nutzenfunktion eine konkave Funktion Ihres Geldes ist, dh in welchem ​​Umfang Ihre Risikoaversion entspricht dem Ausmaß, in dem Sie einen abnehmenden Grenznutzen des Geldes haben. (Siehe Seite 13 dieses PDF .)

Meine Frage ist, in welche Richtung läuft die Kausalität? Spiegeln die Werte der Dienstprogrammfunktion von Neumann-Morgenstern die Intensität Ihrer Präferenzen wider und stellen eine Risikoaversion dar, da die Präferenzen zukünftiger wohlhabender Personen im Vergleich zu den Präferenzen zukünftiger Versionen von Ihnen, die ärmer und damit wertvoller sind, nicht berücksichtigt werden Geld mehr (wie Brad Delong hier vorschlägt )? Oder läuft die Ursache in die andere Richtung: Bestimmt Ihre Risikotoleranz die Form Ihrer Nutzenfunktion, sodass die von Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion nichts über die relative Intensität Ihrer Präferenzen aussagt?

Keshav Srinivasan
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Antworten:

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Ich glaube, ich habe in diesem Auszug aus dem 1994 auf dem 9. Internationalen Kongress für Logik, Methodik und Philosophie von Wissenschaft. Harsanyi beginnt damit, dasselbe Lemma zu beweisen, das Alecos in seiner Antwort bewiesen hat, nämlich dass, wenn eine vNM-Nutzenfunktion eines Individuums ist,u ( 10 ) - u ( 5 ) < u ( 5 ) - u ( 0 ) v u v v ( 10 ) - v ( 5 ) = v ( 5 ) - v ( 0 )uu(10)u(5)<u(5)u(0)genau dann, wenn sie garantierte 5 Dollar gegenüber 50% von 10 Dollar und einer 50% igen Chance von 0 Dollar bevorzugen würden. Im Kommentarbereich sagte ich, dass dies nicht ausreicht, um zu demonstrieren, dass die vNM-Nutzenfunktion die Intensität der Präferenzen darstellt, denn was ist, wenn das tatsächliche Vergnügen und der Schmerz des Individuums durch eine andere Nutzenfunktion genau beschrieben werden , die eine monotone Transformation, aber keine affine Transformation ist von ? In diesem Fall konnte nicht die erwartete Werteigenschaft erfüllen und konnte nicht ?vuvv(10)v(5)=v(5)v(0)

Harsanyi hat ein kluges Argument, das sich mit diesem Thema befasst. Sei die Lotterie, bei der du 5 Dollar garantiert , sei die Lotterie, bei der du eine 50% ige Chance von 10 Dollar und eine 50% ige Chance von 0 Dollar hast , und sei die Lotterie, bei der du eine 50% ige Chance hast 10 Dollar und eine 50% ige Chance von 5 Dollar. Dann bevorzugt die Person offensichtlich gegenüber und . Und Harsanyis argumentiert , dass auf bevorzugte ist weniger stark als bis bevorzugt wird , wenn und nur wenn . Das liegt daran, dass bei der Wahl zwischen,L 2 L 3 L 3 L 1 L 2 L 3 L.L1L2L3L3L1L2L3L 3 L 2 v ( 10 ) - v ( 5 ) < v ( 5 ) - v ( 0 ) L 3 L 1 L 3 L 2L1L3L2v(10)v(5)<v(5)v(0)L3 vs , 50% der Zeit erhalten sie 5 Dollar und 50% der Zeit müssen sie eine Wahl zwischen 10 und 5 treffen. Ähnlich erhalten sie bei der Wahl zwischen und 50% der Zeit 10 Dollar, und 50% der Zeit müssen sie eine Wahl zwischen 5 und 0 treffen. L1L3L2

Jetzt kommt der Master Hub: bis bevorzugt wird , wenn und nur wenn bevorzugter ist weniger stark als bis bevorzugt wird . Daher ist dann vorzuziehen, wenn . Und so kommen wir zu dem großen Schluss, dass genau dann ist, wenn .L 2 L 3 L 1 L 3 L 2 L 1 5 ) < v ( 5 ) - v ( 0 )L1L2L3L1L3L2L1 v ( 10 ) - v ( 5 ) < v ( 5 ) - v ( 0 ) u ( 10 ) - u ( 5 ) < u ( 5 ) - u ( 0 ) v ( 10 ) - v (L2v(10)v(5)<v(5)v(0)u(10)u(5)<u(5)u(0)v(10)v(5)<v(5)v(0)

Somit gelangt Harasanyi zu dem Schluss, dass die vNM-Utility-Funktion Präferenzintensitäten darstellt. Die Antwort auf meine Frage scheint also zu sein, dass eine Verringerung des Grenznutzens in der vNM-Nutzfunktion eine echte Verringerung des Grenznutzens in Bezug auf die Intensität der Präferenzen widerspiegelt, und daher (unter der Annahme, dass die vNM-Axiome wahr sind) eine Verringerung des Grenznutzens tatsächlich die Ursache des Risikos ist Abneigung.

Nebenbei bemerkt frage ich mich, ob wir die Menge aller Funktionen identifizieren können , die die Bedingung erfüllen, dass u ( x ) - u ( y ) < u ( z ) - u ( w ) genau dann ist, wenn v ( x ) - v ( y ) < v ( z ) - v ( w ) (und ähnlich für größer als und gleich). (EDIT: Ich fragte dazu auf Mathematics.SE hier .)vu(x)u(y)<u(z)u(w)v(x)v(y)<v(z)v(w)

Keshav Srinivasan
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v
@AlecosPapadopoulos Übrigens, ich habe gerade eine weitere Frage zur Theorie des erwarteten Nutzens gestellt, die Sie interessieren könnte: Economics.stackexchange.com/q/5304/4447
Keshav Srinivasan
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Die Utility-Funktion ist eine Darstellung von Präferenzen, die traditionell aus Auswahlmöglichkeiten abgeleitet werden. Die Einstellungen stehen vor dem Dienstprogramm. Ich würde den Zusammenhang zwischen Nutzen und Präferenzkausalität nicht nur als mathematische Beziehung bezeichnen.

Risikoaversion (Risikopräferenz) ist nicht mit einer Diskontierung verbunden, die die Zeitpräferenz misst. Es ist nicht sinnvoll zu sagen, dass Risikoaversion auf die Diskontierung der Präferenzen zukünftiger Selbst zurückzuführen ist.

Sander Heinsalu
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"Ich würde den Zusammenhang zwischen Nützlichkeit und Präferenzkausalität nicht nur als mathematische Beziehung bezeichnen." Nun, der Kern meiner Frage ist nicht, ob Präferenzen zu Dienstprogrammfunktionen führen. Grundsätzlich frage ich: Spiegeln die Werte der von Neumann-Morgenstern-Utility-Funktion die Intensität der Präferenzen wider oder spiegeln sie lediglich Einstellungen zum Risiko wider, die nichts mit der Intensität der Präferenzen zu tun haben? Übrigens meine ich mit Diskontierung nicht Zeitrabatt. Ich meine, Versionen von Ihnen in einigen möglichen Futures mehr zu bewerten als Versionen in anderen Futures.
Keshav Srinivasan
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Die erwartete Nützlichkeitsdarstellung von Präferenzen ist bis zu streng zunehmenden affinen Transformationen einzigartig. Gebrauchswerte haben keine Bedeutung, nur ihre Rangfolge hat Bedeutung. Sie können die Utility-Funktion beispielsweise mit unveränderten Einstellungen mit 2 multiplizieren.
Sander Heinsalu
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@KeshavSrinivasan Vielleicht möchten beide Fragen / Antworten mit den zusätzlichen Informationen aktualisieren, die Sie in die Kommentare hier eingegeben haben. Vielleicht wird die Frage auch zu formal gestellt (und damit zu lang). Ich habe das Gefühl, dass ich etwas gelernt habe, indem ich diese Kommentare hier gelesen habe.
FooBar
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@SanderHeinsalu Lassen Sie uns zwischen zwei Dingen unterscheiden. Es gibt die zusätzlichen Informationen, die durch das Vorhandensein einer vNM-Dienstprogrammfunktion vermittelt werden, nämlich die Informationen, dass die Person die vNM-Axiome erfüllt. Ich spreche jedoch von den Informationen, die von der vNM-Funktion selbst übermittelt werden. Das heißt, wenn x, y und z drei feste Elemente von A sind, variiert die Menge (u (x) - u (y)) / (u (y) - u (z)) von Person zu Person (unter Personen, die die vNM-Axiome erfüllen), aber es variiert nicht zwischen verschiedenen vNM-Dienstprogrammfunktionen für dieselbe Person. Diese Menge vermittelt also etwas Spezifisches für eine Person.
Keshav Srinivasan
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Die Einstellung zum Risiko ist Teil der Präferenzen. Es vermittelt also in gewissem Sinne sowohl die Einstellung zum Risiko als auch die Intensität der Präferenz. Es gibt aber auch den staatsunabhängigen Nutzen in vNM, der in einer späteren Entscheidungstheorie gelockert wird. Dies kann als gleiche Intensität der Präferenz für den Konsum in verschiedenen Staaten interpretiert werden, wobei der gesamte Unterschied im Nutzen vom Konsum in verschiedenen Staaten den Wahrscheinlichkeiten der Staaten zugeschrieben wird.
Sander Heinsalu
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Die Expected Utility-Eigenschaft ist keine Eigenschaft, die von der Funktionsform der Utility-Funktion abhängt. Seine Existenz hängt davon ab, dass bestimmte "Axiome" (die genauer als "Bedingungen" bezeichnet werden) erfüllt werden, die mit Vorlieben / Verhalten von Menschen zu tun haben. Sie können einen strengen mathematischen Ausdruck erhalten (was gut ist), aber sie haben mit Präferenzen zu tun, dh bevor eine funktionale Form für die Utility-Funktion angegeben wird. Mal sehen, was das bedeutet. In einem Kommentar schrieb das OP

[u(x)u(y)]/[u(y)u(z)]

Es tut.

Zitat aus Jehle & Renyi (2011) "Advanced Microeconomic Theory" (3d ed) , Kap. 2 p. 108

"Wir schließen daraus, dass das Verhältnis der Nutzenunterschiede eine inhärente Bedeutung in Bezug auf die Präferenzen des Individuums hat und sie für jede VNM-Nutzenrepräsentation von (die schwache Präferenzbeziehung) den gleichen Wert annehmen müssen. Daher liefern VNM-Nutzenrepräsentationen deutlich mehr als ordinale Informationen über die Präferenzen des Entscheidungsträgers, denn ansonsten könnten solche Verhältnisse durch geeignete monotone Transformationen viele verschiedene Werte annehmen. "

In ihrem Beispiel kurz vor dem Zitat zeigen sie das

[u(x)u(y)][u(y)u(z)]=1αα

α

α

(1α)/α

Hier sind Sie also: Eine vNM-Dienstprogrammfunktion ist mit den Gewinnchancen verknüpft, die die Präferenzen einer Person charakterisieren können.

ADDENDUM
Nach einem interessanten, aber zu langen Meinungs- und Gedankenaustausch in den Kommentaren mit dem OP habe ich beschlossen, diese Antwort mit einem Beispiel zu erweitern, um zu zeigen, dass im Kontext der spezifischen Präferenztheorie, die wir diskutieren, "Präferenzintensität" "(wie hier informell diskutiert) kann nicht von" Einstellung zum Risiko "getrennt werden - sie sind untrennbar miteinander verbunden.

Angenommen, ein Individuum erklärt (wie es jedes Recht hat): "Meine Vorlieben sind monoton und ich bevorzuge mehr zu weniger. Außerdem geben mir die nächsten fünf Euro genau den gleichen Nutzen wie die fünf nach ihnen." Beachten Sie, dass dies die Person ist, die spricht - wir können ihn nicht danach fragen, ob der Nutzen ein Kardinal sein kann oder nicht usw. Aus Gründen der Bequemlichkeit symbolisieren wir seine Aussage als Null

(1)u(10)u(5)=u(5)u(0)u(5)=12u(0)+12u(10)

Im Rahmen der Diskussion mit dem OP handelt es sich um eine Aussage zur "Präferenzintensität".

5G01/2101/25

Frage: Können die Präferenzen dieses Individuums, wie in seinen beiden Aussagen beschrieben, durch eine Utility-Funktion dargestellt werden, die die Expected Utility-Eigenschaft besitzt?

Antwort: Nein.

CEG5

Deshalb haben wir das

(2)E[u(G)]=u(CEG)<u(5)

Damit die Eigenschaft Expected Utility nun gültig ist, muss dies der Fall sein

(3)u[G;p(G)]=E[u(G)]=12u(0)+12u(10)

(2)

(4)(2),(3)12u(0)+12u(10)<u(5)

(1)

Wir schließen daraus, dass eine Person, deren Präferenzen durch die obigen Aussagen beschrieben werden, nicht durch eine Utility-Funktion dargestellt werden kann, die die Expected Utility-Eigenschaft besitzt.

5G

Alecos Papadopoulos
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u(x)u(y)u(y)u(z)u(10)u(5)u(5)u(0)=13G(A)
@KeshavSrinivasan Es zählt Intensität, aber nicht messen Intensität.
Alecos Papadopoulos
u(10)u(5)<u(5)u(10)
5103/401/4
WEITER Wenn ich "plus 5" mag, weniger als "minus 5", ist es nicht logisch zu denken, dass ich mich in Bezug auf Unsicherheit ein bisschen mehr irre, wenn ich nicht 5 verliere, anstatt 5 zu gewinnen Mehr? Denken Sie daran, dass eine Nutzenfunktion, die Risikoaversion aufweist, auch einen geringeren Grenznutzen des Wohlstands aufweist. Risikobereitschaft und "Präferenzintensität" sind sehr eng miteinander verbunden.
Alecos Papadopoulos