Grundlegende Gleichungen in der Wirtschaft

Für die anderen Wissenschaften ist es einfach, auf die wichtigsten Gleichungen hinzuweisen, die die Disziplin begründen. Wenn ich einem Physiker die Ökonomie erklären möchte, was sind dann die wichtigsten Gleichungen, die dem Thema zugrunde liegen, das ich einführen und erklären möchte?

Anstatt bestimmte Gleichungen vorzuschlagen, werde ich auf zwei Konzepte verweisen, die zu bestimmten Gleichungen für bestimmte theoretische Aufbauten führen:

A) Gleichgewicht
Das grundlegendste und am meisten missverstandene Konzept in der Wirtschaft. Die Leute schauen sich um und sehen ständige Bewegung - wie irrelevanter kann ein Konzept sein als "Gleichgewicht"? Die Aufgabe hier ist es also, zu vermitteln, dass die Ökonomie die Beobachtung modelliert, dass die Dinge die meiste Zeit dazu neigen , sich "niederzulassen". Indem wir diesen "festen Punkt" charakterisieren, erhalten wir einen Anker, um die Bewegungen außerhalb und um dieses Gleichgewicht zu verstehen kann sich natürlich ändern).

Es ist nicht der Fall, dass " gelieferte Menge der nachgefragten Menge entspricht " (hier ist eine Grundgleichung)

Es ist jedoch so , dass das Angebot tendenziell gleich der Nachfrage ist , und zwar aus Gründen, die jeder Ökonom in der Lage sein sollte, allen Interessierten überzeugend zuzuhören (und im Grunde haben sie alle mit endlichen Ressourcen zu tun).

Durch Bestimmen der Gleichgewichtsbedingungen können wir auch verstehen, wenn wir Divergenz beobachten, welche Bedingungen verletzt wurden.

B) Randoptimierung unter Randbedingungen
In einer statischen Umgebung führt dies zur Gleichung von Randgrößen / ersten Ableitungen von Funktionen.
Warenmarkt: Grenzerlös entspricht Grenzkosten .
Input-Markt: Grenzerlös Produkt entspricht der Grenzvergütung (Miete, Lohn).
Usw. (Ich habe die "Nutzenmaximierung" absichtlich weggelassen, weil man hier zuerst darstellen müsste, worum es in diesem "Nutzenindex" geht und wie verrückt wir sind ( nicht ), indem man versucht, Menschen zu modellieren.) Genuss "durch das Konzept des Nutzens).

Vielleicht könnten Sie alles unter dem Dach "Grenznutzen gleich Grenzkosten" abdecken, wie andere Fragen nahelegten:

Ökonomen leben in einer marginalen Optimierung und halten dies für selbstverständlich. Aber wenn Sie versuchen, es einem Außenstehenden zu erklären, besteht eine respektable Wahrscheinlichkeit, dass er Einwände erhebt oder nicht davon überzeugt ist, und schlägt stattdessen "durchschnittliche Optimierung" als "realistischer" vor, da "Leute keine Derivate berechnen" (wir nicht) argumentieren, dass sie es tun, nur dass ihre Denkprozesse so modelliert werden können, als ob sie es wären ). Man muss also seine Geschichte über marginale Optimierung mit überzeugenden Beispielen und einer Diskussion über "Warum nicht durchschnittliche Optimierung" klarstellen.

In einem intertemporalen Umfeld führt dies zu einem diskontierten Kompromiss zwischen "Gegenwart und Zukunft", wieder "am Rande", beginnend mit der "Euler-Gleichung im Konsum" , die in ihrer diskreten deterministischen Version lautet

... und man kann das Thema des Nutzens schließlich nicht umgehen: ist ein Grenznutzen aus dem Verbrauch, ist ein Abzinsungssatz und ist der Zinssatz0 < β < 1 r t + $u'()$$0<\beta<1$$r_{t+1}$

( Konsultieren Sie nicht den Wikipedia-Artikel über Eulers Verbrauchsgleichung, das Konzept dahinter ist viel allgemeiner anwendbar und grundlegender als die spezifische Anwendung, die im Wikipedia-Artikel behandelt wird.)

Interessanterweise finde ich das, obwohl die dynamische Wirtschaft technisch anspruchsvoller ist, intuitiver, da die Leute viel besser zu verstehen scheinen, "was Sie heute sparen, bestimmt, was Sie morgen verbrauchen", als "Ihr Lohnsatz wird das Grenzprodukt aller Einnahmen sein." Arbeit beschäftigt ".

Wie bereits gesagt, lautet die MOST-Grundgleichung mit Sicherheit:

EDIT: Diese Gleichung ist grundlegend in Bezug auf die Art und Weise, wie Ökonomen denken. Wie in den nachstehenden Kommentaren ausgeführt, beschreiben die grundlegendsten Gleichungen in Bezug auf die Grundgleichungen von Wirtschaftsmodellen Äquivalenzen zwischen der Verwendung und Lieferung von Gegenständen (Geld, Waren usw.). Diese liefern die Spannung der Grenzkostenseite dieser Gleichung.

Ich würde Gleichungen hinzufügen, die sich auf die vergleichende Statik beziehen:

• Hüllkurvensatz $$V^\prime(y)=f_y(x,y)$$
• "Delta" -Analyse , wie in Samuelsons Grundlagen der Wirtschaftsanalyse beschrieben: (dabei werden die Antworten der preisgebenden Hersteller in Bezug auf die Vektoren der Produktion und die Verwendung der Inputs (zu ihren Preisen und , offenbarte im Wesentlichen die Präferenz für Produzenten) $$\Delta p\Delta y-\Delta w\Delta x\geq0$$ $y$$x$$p$$w$
• Offenbarte Präferenz

Wenn wir Spieltheoretiker oder Mathematiker beanspruchen können, deren Gleichungen wir ständig verwenden:

• Karush-Kuhn-Tucker-Zustände , insbesondere komplementäre Schlaffheit. Es gibt keine einzige Gleichung für die lineare Programmierung, aber ich denke, wir haben auch einen Anspruch auf Kantorovich. \ Stationarität: Ursprüngliche Machbarkeit: Doppelte Machbarkeit: Komplementäre Schlaffheit: $$\nabla f(x^*) = \sum_{i=1}^m \mu_i \nabla g_i(x^*) + \sum_{j=1}^l \lambda_j \nabla h_j(x^*)$$ $$g_i(x^*) \le 0, \mbox{ for all } i = 1, \ldots, m$$ $$h_j(x^*) = 0, \mbox{ for all } j = 1, \ldots, l \,\!$$ $$\mu_i \ge 0, \mbox{ for all } i = 1, \ldots, m$$ $$\mu_i g_i (x^*) = 0, \mbox{for all}\; i = 1,\ldots,m.$$
• Nash-Gleichgewicht $$\theta_{i}^\star = \arg \max_{\theta_i} u_i(\theta_i ,\theta_{-i}^\star)$$
• Offenbarungsprinzip : Was fair sein soll, ist weniger eine Gleichung als ein Theorem ...
• Bellman-Gleichung $$V(x)=\max_{c\in\Omega(x)} U(x,z)+\beta\left[V(x^\prime)\right]$$

Der größte Teil des Intro-Econ schneidet Linien. Speziell,

In der Wirtschaft geht es um die Logik menschlichen Verhaltens, wie wir Entscheidungen in einer Welt der Knappheit treffen. Diese Gleichungen beschreiben eine eingeschränkte Optimierung unter einigen üblichen Annahmen wie Kontinuität, konvexe Präferenzen und keine Ecklösungen. Ich würde auch der Verbrauchertheorie Vorrang vor dem Produzenten einräumen. Die meisten Grundlagen der Produzententheorie können mit denselben Instrumenten verstanden werden, die in der Verbrauchertheorie verwendet werden.

Ich denke, eine der wichtigsten Gleichungen (zumindest innerhalb der Makroökonomie) ist:

Diese Gleichung wurde verwendet, um viele grundlegende Ergebnisse abzuleiten. Diese Gleichung motivierte die Hansen-Jagannathan-Bindung . Dies ist auch für die Bewertung von Vermögenswerten von grundlegender Bedeutung.

Auch was interessantes habe ich mal von Tom Sargent gesehen. Wenn Sie den stochastischen Abzinsungsfaktor für ein Standardmodell verwenden, ist je nachdem, welches Stück des Gleichung, die Sie erlauben, exogen zu sein, können Sie einige grundlegende Ergebnisse von Makro erhalten:$m = \beta E_t \left[ \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \right]$

• Permanente Einkommenshypothese: Sei dann erhalten wir$\beta R = 1$$c_t = E [c_{t+1}]$
• Lucas Asset Pricing Model: Der Prozess für den Konsum sei eine Selbstverständlichkeit. Dann kann der Preis eines Vermögenswerts beschrieben werden durch$R_t^{-1} = p_t = E \left[ \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \right]$

Ich hörte Roger Myerson einmal darüber sprechen, warum er glaubte, dass die Wirtschaftswissenschaften als Sozialwissenschaft Mathematik so erfolgreich angewendet haben (oder dies so leicht umgesetzt haben). Er schlug vor, dass dies möglicherweise auf einige der fundamentalen Linearitäten in der Welt zurückzuführen sei. Zwei Beispiele wären die Flussgleichgewichtsbeschränkungen für knappe Waren (Warenbeschränkungen) und Bedingungen ohne Arbitrage. Dies sind grundsätzlich lineare Randbedingungen.

• Es ist wichtig, die Wichtigkeit dieser zu betonen, weil wir aus beiden eine überraschende Menge herausholen können. Zum Beispiel denken viele Leute, dass das Gesetz der Nachfrage eine Folge der Annahme von Rationalität ist (insbesondere Präferenzen, die eine abnehmende marginale Substitutionsrate aufweisen). Ein Ergebnis von Gary Becker zeigt, dass das Gesetz der Nachfrage (wenn auch nur eine etwas schwächere Version) allein aus der Budgetbeschränkung abgeleitet werden kann . (Siehe Becker 1962, " Irrationales Verhalten und ökonomische Theorie ".) Das heißt, dieses grundlegende ökonomische Ergebnis kann allein aus der Realität knapper Ressourcen abgeleitet werden - ohne Rationalität anzunehmen.

• Die No-Arbitrage-Bedingung ist eine Anwendung des linearen Dualitätssatzes ( Farkas-Lemma ). Eine Menge Wirtschaft und Finanzen (Asset Pricing) können nur unter der Annahme durchgeführt werden, dass es im wirtschaftlichen Gleichgewicht keine Arbitrage gibt.

Zusätzliche Hinweise:

Gary Becker hat viele Fortschritte auf diesem Gebiet erzielt, indem er untersucht hat, wie Einschränkungen das menschliche Verhalten beeinflussen. Ein berühmtes Zitat aus seinem Nobelpreisvortrag lautet: "Unterschiedliche Einschränkungen sind für unterschiedliche Situationen entscheidend, aber die grundlegendste Einschränkung ist die begrenzte Zeit." (Einige Diskussionen hier .) Weitere Ressourcen zu seiner diesbezüglichen Arbeit finden Sie hier und hier .

Die lineare Dualität kann verwendet werden, um die No-Arbitrage-Bedingung zu beschreiben. Allgemeiner wird dieses Theorem typischerweise mit dem Hyperebenentrennungs-Theorem bewiesen , einem mathematischen Werkzeug, das in Wirtschaftslehrbüchern häufig vorkommt.

Denken Sie auch daran, dass es ausreicht, nur anzunehmen, dass es im wirtschaftlichen Gleichgewicht ungefähr keine Arbitrage gibt.

Obwohl ich Jyotirmoy Bhattacharya zustimme, dass die interessantesten Ideen in der Wirtschaft nicht immer am besten durch Gleichungen ausgedrückt werden, möchte ich dennoch das Slutsky-Gesetz oder das kompensierte Gesetz der Nachfrage aus der Verbrauchertheorie erwähnen

wobei zwei beliebige Preisvektoren sind, eine beliebige Einkommensstufe ist und ist die Nachfragefunktion. w ≤ R + x ( ≤ , ≤ ) ≤ R$p',p \in \mathbb{R}_{++}^n$$w \in \mathbb{R}_+$$x(\cdot,\cdot) \in \mathbb{R}^n$

Die zugrunde liegende Beziehung ist ein paar Ordnungen von fundamentalen Gleichungen in anderen Bereichen entfernt. Auch erdet es die Disziplin nicht in dem Sinne, dass es nicht allzu oft eingesetzt wird.

Ich neige jedoch dazu, es als grundlegend anzusehen, weil

• Es ist eine absolut nicht triviale Konsequenz von drei einfachen und fundamentalen Annahmen in der Verbrauchertheorie, nämlich
  • Dass die Nachfragefunktion homogen vom Grad Null ist (keine Geldillusion)$x(\cdot,\cdot)$
  • Walras 'Gesetz (Leute verbrennen kein Geld)
  • Das schwache Axiom der offenbarten Präferenzen (wenn Sie A gewählt haben, wenn B "heute" verfügbar ist, werden Sie B "morgen" nicht gewählt haben, wenn A verfügbar bleibt)
• Daher ist das Testen der Ungleichung gleichbedeutend mit dem gemeinsamen Testen dieser drei Annahmen.
• Die drei Annahmen werden in der überwiegenden Mehrheit (möglicherweise mehr als 90%?) Der Modelle verwendet, einschließlich der Verbraucher in der Wirtschaftstheorie.
• Ihre Gültigkeit (zumindest als Annäherung) ist daher entscheidend für die Gültigkeit der meisten Modelle in der Wirtschaftstheorie (zumindest als Annäherung).
• Obwohl es nicht immer offensichtlich ist, wie man die Begriffe Preise, Waren und Einkommen mit beobachtbaren Werten in Beziehung setzt, sind alle Elemente in der Gleichung im Prinzip beobachtbar (im Gegensatz zum Beispiel zum Nutzen), und die Gültigkeit der Ungleichung kann daher empirisch überprüft werden .

Ich glaube nicht, dass es ökonomische Gleichungen gibt, die denselben Status haben wie beispielsweise Maxwells Gleichungen in der Physik. An seiner Stelle haben wir Konzepte wie das Equimarginal-Prinzip, das Wettbewerbsgleichgewicht oder das Nash-Gleichgewicht, die den Kern des "Ansatzes des Ökonomen" bilden. Aber ich denke, der wahre Wert der Wirtschaft liegt nicht einmal in diesen Ideen selbst, sondern in dem, was wir über konkrete Probleme in bestimmten Anwendungsbereichen wissen: zum Beispiel, was wir über Konjunkturzyklen in Makros wissen. In dieser Hinsicht ist die Ökonomie vielleicht eher eine Medizin als eine Physik.

Eines der wichtigsten ist für mich die Budgetbeschränkung. Es mag zu offensichtlich erscheinen, aber viele Laien (obwohl vielleicht kein Physiker) verstehen es nicht!

$p⋅x \leq w$

Ein bisschen zu spät zum Spiel, aber ich bin überrascht, dass niemand die Gleichung zur Berechnung der OLS-Schätzungen benannt hat:

Auch wenn sie nicht als grundlegend, wie zum Beispiel der Slutsky Gleichung, die Bedingung auf dem Lerner - Index, der ein Gewinn Firma mit Preis Maximierung , Kosten und Preiselastizität der Nachfrage hat ist eine wichtige Gleichung in der industriellen Organisation.$p$$c$$\eta$

Dies ist nicht nur eine elegante Formulierung der Lösung des Problems des Unternehmens, sondern es ist auch praktisch nützlich:

• Ein Unternehmen, das sein schätzt und sein kennt, kann diese Formel verwenden, um den gewinnmaximierenden Preis zu berechnen.$\eta$$c$
• Ein Regler, der ein beobachtet und schätzt, kann die Formel verwenden, um zu berechnen - wichtig für viele Formen der Regulierung.$p$$\eta$$c$

Es ist bereits eine Euler-Gleichung geschrieben, die sich in stetiger Zeit ergibt

Wobei die intertemporale Elastizität der Substitution ist, Zinssatz und der Abzinsungssatz (Ungeduld).$\sigma$$r$$\rho$

Grundlage der intertemporalen Ökonomie ist die Barwertgleichung . Das heißt, der Barwert eines zukünftigen Einkommensstroms ist das jährliche Einkommen geteilt durch einen geeigneten Abzinsungsfaktor, basierend auf dem vorherrschenden Zinssatz r, der auf die n-te Potenz gebracht wird, wobei n die Anzahl der Jahre ist.

Nun, für die Mikroökonomie gibt es mehrere, die jedoch alle dem gleichen Muster folgen.

Hier werde ich versuchen, einen kompletten Kurs für Mikroökonomie in einem Beitrag zu unterrichten.

Die meisten mikroökonomischen Probleme folgen diesem Format:

Wenn Sie einige kleine Details weglassen, sehen die Probleme nach einer Weile gleich aus, wenn Sie genug mikroökonomische Praxis betreiben. Das muss ich mitteilen.

Produktions- / Utility-Funktionen

In einem mikroökonomischen Zwischenkurs ¹ werden Sie drei Haupttypen von Nutzungs- / Produktionsfunktionen kennenlernen . Sie sind:

1. Cobb Douglas
   $$f(x_1,x_2)=x_1^ax_2^b$$
2. Leontif / Perfektes Komplement
   $$f(x_1,x_2)=\min\{x_1,x_2\}$$
3. Perfekter Ersatz $$f(x_1,x_2)=x_1+x_2$$

Haushaltslinien und Kostenfunktionen

In der Verbrauchertheorie haben Sie eine Budgetlinie, die durch die Formel dargestellt wird:

In der Produzententheorie nennen wir es eine Kostenfunktion.

Entweder möchten wir den Verbrauch in Anbetracht einer Budget- / Kostenfunktion maximieren oder die Kosten minimieren, um Ihr Nutz- / Leistungsniveau konstant zu halten. Dazu verwenden wir eine andere Gleichung:

Der Lagrange-Multiplikator:

Obwohl es nicht nur ein wirtschaftswissenschaftliches Instrument ist, ist es das wichtigste Instrument für alle fortgeschrittenen Studenten der Mikroökonomie.

Dabei ist entweder eine Budget- / Kostenfunktion oder eine Nutzungs- / Produktionsfunktion, wenn sie gleich Null ist.$H-g(x_1,x_2)$

Wir verwenden dies zur Berechnung von Nutzen- / Gewinnmaximierungs-Verbrauchsbündeln / -Inputs oder zur Kostenminimierung, um den Nutzen / Nutzen konstant zu halten.

Und das ist ein Wrap!*

_{* Auch wenn es etwas zu Marshall- und Hicksian-Anforderungen zu sagen gibt, lasse ich es anderen überlassen, es auszufüllen.}