Twin-T Active Notch Filter Analyse

Kann mir jemand einen Hinweis zur Analyse des Twin-T Active Notch Filters geben? Ich versuchte es mit einer Delta-Stern-Transformation, gefolgt von einer Knotenanalyse, endete jedoch mit widersprüchlichen Gleichungen. Ein Beispiel finden Sie in Abbildung 1 aus dem Anwendungshinweis von Texas Instruments " Eine Audio-Schaltungssammlung, Teil 2 ":

In dem allgemeineren Beispiel, das ich studiere, entferne ich C4 / C5 und R6 / R7 (und diese Vcc) und behandle die passiven T-Komponenten wie folgt als abgestimmte Leitfähigkeiten:

R1 und R2 werden zu Y1, R3 wird zu 2Y1, C1 und C2 werden zu Y2, C3 wird zu 2Y2, R4 und R5 als generischer Spannungsteiler mit den Widerständen R1 und R2

Mit der Delta-Star-Transformation kann das Twin-T-Netzwerk folgendermaßen analysiert werden:

1. Die beiden T-Netze können parallel in Doppel-Delta-Netze umgewandelt werden:
2. Verdichten Sie diese beiden Delta-Netzwerke zu einem einzigen Delta-Netzwerk

3. Konvertieren Sie das resultierende Delta-Netzwerk zurück in ein T-Netzwerk.

4. Um das Kerbverhalten des passiven Zwillings T zu sehen, nehmen Sie an, dass Knoten 2 mit Masse verbunden ist, und behandeln Sie das Delta-Netzwerk, das Sie in Schritt 3 erhalten haben, als Spannungsteiler.

   Sie finden eine Übertragungsfunktion von .

   $$H(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0 + {\omega_0}^2}$$

5. Um den Effekt des Bootstrapings zu sehen, wird angenommen, dass der Knoten 2 auf einer Spannung α Vout gehalten wird, wobei α ein Skalierungsfaktor zwischen 0 und 1 ist. Das T-Netzwerk fungiert weiterhin als Spannungsteiler, der zwischen Vin und α Vout teilt . Um das Verhalten des Systems zu finden, müssen wir die Gleichung , wobei die Übertragungsfunktion ohne Rückkopplung ist. Dabei finden wir eine neue Übertragungsfunktion: . Beachten Sie, dass für (keine Rückkopplung) wie erwartet gilt. Für

   $$v_\textrm{out} = \alpha \cdot v_\textrm{out} + H(s) ( v_\textrm{in} - \alpha\cdot v_\textrm{out} )$$ $$H(s)=Z_2/(Z_1 + Z_2)$$ $$G(s) = \frac{1}{(1-\alpha)\frac{1}{H(s)} + \alpha}$$ $\alpha=0$$G(s)=H(s)$$\alpha=1$wird das System instabil. Trägt man diese Funktion für Werte von Alpha zwischen 0 und 1 auf, so ergibt sich ein starker Anstieg des Q der Kerbe.

Die resultierende Übertragungsfunktion lautet: .

So sieht der Frequenzgang aus, wenn die Rückkopplungsverstärkung geändert wird:$\alpha$

Die Algebra der verschiedenen Transformationen ist etwas langwierig. Ich habe es mit Mathematica gemacht:

(* Define the delta-star and star-delta transforms *)

deltaToStar[{z1_,z2_,z3_}]:={z2 z3, z1 z3, z1 z2}/(z1+z2+z3)
starToDelta[z_]:=1/deltaToStar[1/z]

(* Check the definition *)
deltaToStar[{Ra,Rb,Rc}]

(* Make sure these transforms are inverses of each other *)
starToDelta[deltaToStar[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify
deltaToStar[starToDelta[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify

(* Define impedance of a resistor and a capacitor *)
res[R_]:=R
cap[C_]:=1/(s C)

(* Convert the twin T's to twin Delta's *) 
starToDelta[{res[R], cap[2C], res[R]}]//FullSimplify
starToDelta[{cap[C], res[R/2], cap[C]}]//FullSimplify

(* Combine in parallel *)
1/(1/% + 1/%%)//FullSimplify

(* Convert back to a T network *)
deltaToStar[%]//FullSimplify

starToVoltageDivider[z_]:=z[[2]]/(z[[1]]+z[[2]])
starToVoltageDivider[%%]//FullSimplify

% /. {s-> I ω, R ->  1/(ω0 C)} // FullSimplify

Hier ist eine Möglichkeit: Der Kerbfilter mit Rückkopplung ist etwas komplizierter, daher werde ich vorerst nur die allgemeine Form des Twin-T-Kerbfilters skizzieren:

Um die Schaltung mithilfe der Knotenanalyse zu lösen, müssen Sie die Spannungsquelle Vin in die entsprechende Norton-Quelle umwandeln. Dies ist jedoch etwas schwierig, da Sie Vin in zwei Norton-Quellen umwandeln müssen, um R1 und C1 zu berücksichtigen, und anschließend die Schaltung neu anordnen, um dies zu kompensieren . So was:

Die Punkte 1, 2 und 3 werden in der Ersatzschaltung an ihren neuen Positionen angezeigt. Sie sollten dann in der Lage sein, KCL-Gleichungen durch Inspektion aufzuschreiben und eine 3 x 3-erweiterte Matrix in den Unbekannten V1, V2 und V3 zu erstellen. Sie können dann nach V2 / Vo in Bezug auf Vin auflösen, indem Sie die Cramer-Regel verwenden.

Die im TI-Datenblatt gezeigte Rückkopplungsschaltung sollte nicht viel komplizierter sein, da die Ausgabe von U1A und U1B gepuffert wird, dann könnten Sie eine ähnliche Ersatzschaltung für die Stromquelle erstellen. Anstelle von R2 und C2 in meinem ersten Diagramm würden sie an eine Spannungsquelle mit einem Wert von , wobei alpha das Spannungsteilungsverhältnis ist.$Vo*\alpha$

Edit: Erstes Diagramm korrigiert