Was ist der praktische Grund für die Zuordnung der Grenzfrequenz zur Leistungsdämpfung von% 50?

Historisch gesehen ist die Grenzfrequenz dieses Filters, wenn man von einem analogen Tiefpassfilter spricht, als -3 dB definiert.

Dies ist also die Frequenz, bei der sich die Amplitude des Sinussignals des Ausgangs auf 0,7 des Eingangs abschwächt (Spannungsverhältnis). Wenn wir dieses Verhältnis quadrieren, erhalten wir% 50, was das Leistungsverhältnis ist.

Es ist sehr offensichtlich, dass es einmal entschieden wurde, dass die Grenzfrequenz die Frequenz sein sollte, die einen Leistungsverlust von% 50 eines bestimmten sinusförmigen Frequenzeingangseingangs verursacht.

Meine Frage ist: Was könnte ein praktischer Grund sein, es% 50 zu definieren? Ist% 50 nicht immer noch eine große Menge und wie könnte es damit verbunden sein, Filter zu sein? Ich könnte Sinn machen, wenn es zum Beispiel% 95 gewählt würde.

Erstens führt die Bezeichnung "Grenzfrequenz" zu Missverständnissen. "Rolloff-Frequenz" ist ein besserer Name, der Ihnen ein genaueres Bild davon gibt, was wirklich passiert.

Die Verwendung des -3 dB-Punkts ist nicht beliebig. Es fällt natürlich aus der Mathematik heraus. Für einen RC-Filter:

  ω = 1 / RC

Dabei ist ω die Frequenz im Bogenmaß / Sekunde, R in Ohm und C in Farad. Verwenden Sie für die Frequenz in Hz:

  f = 1/2$\pi$RC

Wenn Sie das Log (Amplitude) als Funktion von Log (Frequenz) zeichnen, wie in einem Bode-Plot, treffen sich bei der Frequenz von -3 dB die Asymptoten für das Durchlassband und das Stoppband. Anders ausgedrückt, bei Frequenzen weit im Durchlassbereich sieht der Filter wie eine horizontale Linie aus. Bei Frequenzen weit im Sperrbereich ist das Filter eine Linie mit einer Steigung von 20 dB pro Jahrzehnt (+ oder - je nach Hoch- oder Tiefpass). Wenn Sie diese beiden Linien zeichnen und sie dort erweitern, wo sie sich treffen, liegt die Rolloff-Frequenz bei -3 dB.

Für Kommentare zu lang geworden.

Der -3dB-Punkt wird traditionell eher als das Ende des nützlichen Durchlassbereichs als als der Anfang des nützlichen Sperrbereichs angesehen. Letzteres ist zu abhängig von spezifischen Anforderungen, um eine einzige universell anwendbare Definition zu haben.

Ein Aspekt, der es am nützlichsten macht, ist die Reziprozität: Da die R- und C-Komponenten (oder L und R) der Impedanz in Quadratur sind, erhalten Sie bei gleicher Größe einen Spannungsverlust von sqrt (2) und eine Leistung von 0,5. Jede andere Definition hätte diese Eigenschaft nicht. Wenn Sie beispielsweise R und C vertauschen, erhalten Sie ein Hochpassfilter mit derselben nominalen Grenzfrequenz. Jede andere Definition der Grenzfrequenz würde eine andere Frequenz für das transponierte Filter ergeben! Somit ist -3dB eine einzigartig nützliche Definition.

Es ist ein einziger Bezugspunkt. Anhand des 3dB-Punkts und ein wenig mehr Informationen (Filterreihenfolge, Typ z. B. Butterworth 4. Ordnung) können Sie erkennen, wo andere charakteristische Punkte liegen: 1 dB Ebenheit, 60 dB Sperrband usw.

Oder Sie können rückwärts arbeiten: Wenn Sie beispielsweise eine Dämpfung von 40 dB bei 1 kHz von einem Butterworth-LPF 2. Ordnung benötigen, wissen Sie aus Quellen des Filterdesigns, dass ein Filter 2. Ordnung eine endgültige Steigung von 40 dB / Dekade hat, und im Sonderfall von Ein Butterworth-Filter fängt die 0-dB-Linie am 3dB-Punkt ab, sodass der 3dB-Punkt 1 Jahrzehnt vom Beginn des Stoppbandes entfernt ist, dh 1000 Hz / 10 oder 100 Hz. Wenn Sie eine Dämpfung von 60 dB benötigen, liegt der -3-dB-Punkt 1,5 Jahrzehnte unter 1000 Hz oder etwa 30 Hz. Wenn diese Frequenz zu niedrig ist, benötigen Sie einen steileren Filter, z. B. einen Filter höherer Ordnung.

Das Filterdesign durch Skalierung und Ähnlichkeit in Bezug auf den -3-dB-Punkt hat eine lange Geschichte und eine Anhäufung von Erfahrungen und Literatur .

Zitat: "Können Sie erklären, warum es völlig vernünftig ist, es zu verwenden? Das ist es, was ich eigentlich frage. "

Lassen Sie mich eine andere Erklärung versuchen: Basierend auf der allgemeinen Übertragungsfunktion zweiter Ordnung ist es üblich, die verschiedenen Tiefpassfilterantworten (Butterworth, Bessel, Chebyshev, ...) anhand der Polposition in der komplexen S-Ebene (Pol: Nullstellen des Nenners). Dies liegt daran, dass gezeigt werden kann, dass die Faktoren im Nenner D (s) der allgemeinen Übertragungsfunktion einfach durch zwei Parameter ausgedrückt werden können: Polfrequenz wp und Polqualitätsfaktor Qp .

Wenn wir diese Nomenklatur auch auf eine Tiefpassfunktion erster Ordnung anwenden , ist es leicht zu zeigen, dass in diesem Fall die Polfrequenz wp mit der 3dB-Winkelfrequenz identisch ist (und Qp = 0,5). Das heißt: Wir haben einen einzigen echten Pol auf dem Negativ. reale Achse.

Zusammenfassend: Mit dem Ziel, die verschiedenen Tiefpassantworten (erste und zweite Ordnung) mit denselben Parametern (wp und Qp) zu beschreiben, erreichen wir automatisch - für eine Funktion 1. Ordnung - eine Frequenz wc = wp (3dB Winkelfrequenz).

Bemerkung : Vielleicht ist es interessant festzustellen, dass der Butterworth-Tiefpass zweiter Ordnung auch eine Polfrequenz wp hat, die mit der 3dB-Schwelle identisch ist.

Wenn wir einen Filter mit einer einzelnen Figur beschreiben wollen, dann hat die halbe Leistung einen schönen Klang.

In einem einpoligen RC-Filter gibt die RC-Zeitkonstante die -3dB-Bandbreite direkt als f3dB = 1 / 2piRC an, unabhängig davon, ob es sich um Hochpass oder Tiefpass handelt. Es ist also eine absolut vernünftige Zahl. In einem Butterworth-Filter fällt die Bandbreite von -3 dB in ähnlicher Weise aus den Filtergleichungen heraus.

Doch niemand, der wirklich will, verwenden Sie einen Filter, um eine Spezifikation, stützt sich auf die -3dB - Bandbreite mehr als nur eine grobe Vorstellung von der Art des Filters. -3dB ist ein langer Weg nach unten für alle, die ein nicht verzerrtes Durchlassband wünschen, und es sagt nichts über die Verzögerungsebenheit des Filters aus.

In einem von Chebychev entworfenen Filter ist die übliche "Grenzfrequenz", wenn das Durchlassband die Welligkeitsamplitude nach unten und nicht um 3 dB nach unten ist. Die Welligkeit beträgt oft 1 dB oder sogar 0,1 dB.

Wenn Sie sich für das Sperrband eines Filters interessieren, erfordern verschiedene Anwendungen einen Wert zwischen -30 dB und -100 dB, sodass eine einzelne Zahl für ein bestimmtes Design unbrauchbar ist.

Wenn ich Filter mit -3 dB Bandbreiten von 1 kHz, 1 MHz und 10 GHz vergleiche, habe ich eine ziemlich gute Vorstellung von diesen Zahlen, dass die erste aus Opamps und RCs, die zweite aus Ls und Cs und die dritte aus Patches von aufgebaut wird Übertragungsleitung. Aber wird nichts über die Durchlassband-Ebenheit oder Stoppband-Dämpfung wissen.

Für einen Butterworth-Filter ist die Übertragungsfunktion

wobei Omega die normalisierte Frequenz ist

Wenn also Omega gleich 1 ist, entspricht die Übertragungsfunktion einer Hälfte, wodurch wir unseren berühmten -3dB- oder halben Leistungspunkt erhalten.

Edit: Sorry, ich hätte s schreiben sollen, als jOmega es repariert

Wenn Sie beim Aufteilen eines Signals in zwei Frequenzbänder (wie bei einer Zweiwege-Lautsprecherbox) einen Gesamtfrequenzgang der Größe 1 wünschen, wählen Sie für Tief- und Hochpass dieselbe Abrollfrequenz. Es scheint, dass das Addieren von zwei Amplituden von sqrt (2) / 2 zu einer Größe von mehr als 1 führen würde, aber da sich die jeweiligen Filter um 45 ° in entgegengesetzte Richtungen drehen, bleibt die Gesamtamplitude tatsächlich gerade (für orthogonale Signale eher Potenzen als Amplituden hinzufügen).

Das bedeutet natürlich, dass man Lautsprecher mit der gleichen Phasenantwort bei Abrollfrequenz wählen muss ...