Was ist eine Sinuswelle?

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Dies kam, als ein Student mich fragte. Eine einfache Frage, könnte man meinen. Außer ... wie man eine ohne Tautologie definiert? Das heißt, ohne das Wort "Sinus" (oder Cosinus für diese Angelegenheit) zu verwenden. Wikipedia hilft nicht, obwohl die sich bewegende Scheibe von Bedeutung sein könnte.

Kurz gesagt, ich vermute, dass sein Lehrer ihm ein sehr schweres Problem bereitet hat, auch wenn ich mich möglicherweise irre.

Dies geschah im Rahmen eines Elektronikkurses. So lassen sich aus den Eigenschaften verschiedener Bauelemente / Schaltungen vermutlich beliebige Antworten ableiten.

sine Dirk Bruere
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Ich stimme dafür, diese Frage als nicht thematisch zu schließen, da diese Fragen nicht mit Elektronikdesign, sondern mit Mathematik zu tun haben.

Michel Keijzers

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@MichelKeijzers Ich bin nicht einverstanden, weil dies als Teil eines Elektronikkurses kam. So lassen sich aus den Eigenschaften verschiedener Bauelemente / Schaltkreise vermutlich beliebige Antworten ableiten.

Dirk Bruere

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Ich bin nicht sicher, welche Art von Antwort Sie erwarten. Für mich ist die Sinusfunktion nur eine mathematische Darstellung vieler physikalischer Phänomene, bei denen es um Schwingungen geht. Jede Schwingung kann als lineare Kombination von Sinusfunktionen konstruiert werden, wodurch Sinus als Grundlage für den Vektorraum aller periodischen Funktionen dient.

PDuarte

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@DirkBruere Für einen Elektronikstudenten sollte das Sinuskonzept aus dem Mathematikunterricht stammen, nicht aus der Elektronik. Es hätte deutlich gemacht werden müssen, als er / sie Trigonometrie studierte. Ich denke, Sie versuchen, grundlegende Konzepte in höheren Bereichen zu erklären, was in der Pädagogik nicht sehr effektiv ist.

PDuarte

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Es ist der Schatten einer Helix, die von der Seite beleuchtet wird.

Dampmaskin

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Beginnen Sie damit:

schematisch

^{simulieren Sie diese Schaltung - Schaltplan erstellt mit CircuitLab}

Sagen:

Wir haben die Induktivität L1. Wir laden C1 separat auf und schließen es dann wie gezeigt schnell an, so dass die Oberseite dieses Stromkreises relativ zur Unterseite auf + 1V-Potential liegt.

Fragen Sie sich (oder die Schüler):

Was wird als nächstes passieren?

Kluge Schüler werden sagen: Ja, nun, es ist eine schnelle Änderung der Spannung an L1, so dass es einige Zeit dauern wird, bis die Dinge "DC-y" aussehen und Strom durch L1 fließt und C1 entlädt, so dass das Gesamtpotential steigt 0 V sein.

Aber was ist mit dem Magnetfeld im Induktor?

Oh ja, das speichert jetzt die Energie vom Kondensator

Der Stromfluss stoppt also für immer, sobald die Spannung an C1 (und L1) 0 V beträgt.

Nein, die Magnetfelderergie muss irgendwohin. Der Kondensator wird also wieder aufgeladen.

Können wir dem Formeln hinzufügen? Ja wir können; Geben Sie die Differentialgleichungen ein, die den Strom und die Spannung zwischen Kondensatoren und Induktivitäten beschreiben. Zeigen Sie, dass Sie eine Funktion benötigen, deren zweite Ableitung selbst negiert ist.

Jetzt kommt der schwierige Teil, und ich fürchte, Sie werden nichts dagegen tun können: Sie müssen sagen: Hey, das ist ein Sinus, er erfüllt diese Bedingung.

Marcus Müller
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2

Das ist der, an den ich zuerst gedacht habe. Ich denke, es wäre eine gute Antwort für EE-Studenten. Aber ich habe vor langer Zeit gelernt zu beantworten, was der Lehrer erwartet ...

Dirk Bruere

3

Trotz der weit verbreiteten Meinung werde ich dies als Antwort markieren, da dies die Art von Antwort ist, die ein EE-Schüler seinem Lehrer am besten anbieten kann. Wie die Leute kommentiert haben, ist dies eine EE-Site und keine mathematische. Ich mag jedoch die rotierende

Vektorerklärung

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Eine Möglichkeit wäre, eine Sinuswelle in Bezug auf den Einheitskreis zu beschreiben. Der Radius zeichnet offensichtlich einen Kreis, ABER die x- und y-Koordinaten zeichnen die bekannten Wellenformen nach.

Dies hilft auch bei der bildlichen Erläuterung der Eulers-Formel:

$e^{i x} = cos(x)+ i\cdot sin(x)$

wobei der Spezialfall von die Euler-Identität ergibt: $x = \pi$ $e^{i \pi} + 1 = 0$

Bildbeschreibung (Quelle: https://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-sine-waves/ )

JonRB
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4

Und die x- und y-Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis hängen eng mit den Definitionen von cosund zusammen sin. Wenn Sie wissen, wie eine Sinusfunktion im Diagramm aussieht, wissen Sie bereits, was eine Sinuswelle ist.

Monty Harder

4

Umformulieren dieser Antwort in eine Definition: "Eine Sinuswelle ist eine Form oder ein Signal, das durch eine Funktion modelliert werden kann, die eine reelle Zahl

auf die reelle Größe des Imaginärteils von

abbildet . Eine solche Funktion wird als / a bezeichnet Sinusfunktion und wird mit

. "

x

$x$

e^{i x}

$e^{ix}$

\sin (x)

$\sin (x)$

Todd Wilcox

2

@ToddWilcox diese Definition ist sehr nützlich! So einfach. (Mein Trig-Lehrer war ein Co-Trainer, der kein Business-Mathematik unterrichtete, und der Schaden hielt an.)

DukeZhou

3

@ToddWilcox Ich glaube nicht, dass dies eine gute Antwort ist, da dies genau die gleiche Argumentation wie der Kreis ist. Es folgt einfach aus der grundlegenden Trigonometrie, die als Projektionen von Einheitskreisen definiert ist. Wenn wir diese Definition verwenden, ist die Frage, was e und was imaginäre Zahlen sind.

Joojaa

1

@joojaa Denken Sie daran, der zentrale Aspekt der ursprünglichen Frage ist, wie der Sinus definiert wird, ohne auf den Sinus Bezug zu nehmen. Persönlich denke ich, dass eine Definition von Sinus basierend auf Dreiecken viele Erklärungen und Diagramme erfordert, und dann muss man Dreiecke zurücklassen und sie mit dem Einheitskreis neu definieren. Unter der Annahme einer gewissen Raffinesse in der Mathematik (z. B. bereits wissen, was Sinus ist), scheint eine auf der Euler-Formel basierende Definition eine der eleganteren Antworten zu sein. Mein Ziel war eine Definition, die einfach, streng und textuell war. Ich glaube, ich habe eine gefunden, die diesen Kriterien entspricht.

Todd Wilcox

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Die einfachste Erklärung, die ich finde, ist in dem obigen Bewegtbild zusammengefasst. Es geht um rechtwinklige Dreiecke, die innerhalb eines Kreises existieren.

Foto von hier gemacht . Siehe auch Warum ist eine Sinuswelle gegenüber anderen Wellenformen bevorzugt .

Andy aka
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Ich würde es selbst als die vertikale Komponente des rotierenden Vektors (und den Kosinus als die horizontale) beschreiben, aber dasselbe Prinzip.

Baldrickk

2

Schlagen Sie mich beim Posten eines solchen Konzepts (war nicht da, als ich schrieb)

JonRB

5

+1 - SOH CAH TOA!

David K

4

@ DavidK Ich habe immer "Smiles Of Happiness, Come After Having, Krüge von Ale"

vorgezogen

4

Heilige in der Höhe können Tee oder Alkohol trinken.

Leon Heller

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Einfach: Eine Sinuswelle in der Zeit t ist der imaginäre Teil von:

e^{j ω t}

$e^{j \omega t}$

wobei ω die Winkelfrequenz ist.

Mr Central
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6

+1 Dies ist das grundlegendste Stück Mathematik in der gesamten Elektrotechnik. Da die Frage von einem Studenten gestellt wurde, möchten Sie sie vielleicht näher erläutern.

Jon

7

Ich werde meinen Assistenten Dave Tweed die Details eintragen lassen.

Mr Central

4

Ich liebe es, einem Studenten zuzusehen, der nach dieser Definition versucht, sich einen Teil von e ^ jwt vorzustellen!

Cort Ammon - Reinstate Monica

@CortAmmon Ich weiß, was du meinst, aber es hilft zu wissen, dass ℯʲʷᵗ eine Sinuswelle beschreibt, und dann herauszufinden, wie es das bedeutet.

DukeZhou

5

Es könnte hilfreich sein zu verdeutlichen, dass EEs die imaginäre Einheit mit

, während Mathematiker sie mit

.

j

$j$

i

$i$

Todd Wilcox

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Viele physikalische Probleme können als lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten formuliert werden.

Für kontinuierliche ("harmonische" Schwingungen) ohne Dämpfung kann die Bewegung einfach als Differentialgleichung einer Funktion und ihrer zweiten Ableitung beschrieben werden. Ohne Dämpfung, wobei f normalerweise eine Funktion der Zeit ist , erhalten Sie ungefähr Folgendes:

ein f^{″} + f = 0

$af''+f=0$

Sie können die Sinusfunktion als f definieren, die allgemeine Lösung für diese Gleichung. Es kann gezeigt werden, dass dies die einzige allgemeine Lösung für dieses Problem ist.

Hier ist Ihre klare Definition: eine Lösung und ein gutes Modell zur Beschreibung gängiger Phänomene.

Siehe auch diese Antwort: /electronics//a/368217/39297

Florian Castellane
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Kann ich in diesem Zusammenhang die Bedeutung des '' erfragen? Ich fand es im Zusammenhang mit dem Doppelprimus verwendet ... Ist dies die richtige Verwendung hier in Bezug auf die Zeit?

DukeZhou

3

@ DukeZhou Es ist die zweite Ableitung in Bezug auf die oben genannte unabhängige Variable, die in diesem Fall Zeit ist.

Todd Wilcox

2

Bonusantwort (wird als Kommentar gepostet, da es sich um einen Bonus handelt): Im vorübergehenden Fall haben Sie exponentielle Terme (abnehmende Exponentialzahl bei Dämpfung). Wenn Sie das Problem mit Exponentialen umschreiben und dabei berücksichtigen, dass

, können Sie eine Lösung nur mit Exponentialen finden, die sich auf eine Lösung von

verallgemeinern lässt.

für alle reellen Zahlen a, b

s ich n (t) = ℑ (e^{j w t})

$sin(t)=\Im(e^{jwt})$

ein f'' + b f' + f = 0

$af′′+bf′+f=0$

Florian Castellane

1

Eine andere Art, diese Antwort zu formulieren: Eine Sinuswelle ist die Position eines Objekts, das sich so bewegt, dass seine Position immer entgegengesetzt zu seiner Beschleunigung ist (mit geeigneten Einheiten). Im Übrigen ist es technisch nicht korrekt, dass eine Sinuswelle die allgemeine Lösung für Ihre Differentialgleichung ist. Es ist nur eine bestimmte Lösung. (Meine Umformulierung sagt dies schleichend, aber auf dunkle Weise.)

LSpice

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Einfach. Starten Sie bei Dampflokomotiven. Sinus ist die Position des Kolbens im Verhältnis zum Radwinkel. * Sie können sich einen in einem Museum ansehen: Trigger in lebender Farbe.

Schauen Sie sich zum Beispiel das Gestänge an den Positionen 3:00 und 9:00 an (90 und 270 auf der Sinuswelle, wo es flach ist) und sehen Sie, wo der Kolben ein Problem hat: Er kann keine Kraft aufbringen. Deshalb ist der Mechanismus auf der anderen Seite um 90 Grad phasenverschoben. Dieser Kolben ist auf dem Höhepunkt seiner Hebelwirkung.

Das Konzept funktioniert noch besser mit 3 (60 Grad außer Phase), die Dampflokomotiven machten, wenn sie konnten (UK, Shay) und dieses Konzept wird heute in 3-Phasen-Strom verwendet.

Und Wechselstromgeneratoren tun das Gleiche, wenn das Gleichstrommagnetfeld am Rotor über die nicht bewegten Feldwicklungen läuft. Ein Generator wird angetrieben, aber ein Einphasenmotor kann wie eine Einkolben-Dampfmaschine im oberen Totpunkt hängen bleiben. Dies wird durch eine spezielle Starterwicklung gelöst. Dreiphasenmotoren haben dieses Problem nicht.

Dieses Konzept taucht immer wieder in der Mechanik und damit in der Elektronik auf. Wie andere betont haben, taucht es in der Natur häufig auf. Beachten Sie auch, dass, wenn die Position eine Sinuswelle ist, die Geschwindigkeit eine Sinuswelle ist, die Beschleunigung auch eine Sinuswelle ist, der Ruck (dA) auch eine Sinuswelle ist und die Sinuswellen bis zum Anschlag abfallen. Das "perfekte Rechteck" der Bewegung.

* Die Dampflok-Hauptstange rüttelt jetzt ein wenig an einer reinen Sinuswelle, aber dies ist eine ziemlich lange Stange (im Gegensatz zu Ihrem Automotor), und daher ist der Unterschied betrieblich vernachlässigbar und für die Lokomotivenhersteller unbedeutend .

DaveTweed: kein Trottel, weil ich mich direkt für die reale Welt bewerbe.

Harper - Setzen Sie Monica wieder ein
quelle

4

Vielen Dank, dass Sie dies in Bezug auf Old School Engineering aufgeschlüsselt haben! (Ich muss oft darauf hinweisen, dass Computer älter sind als integrierte Schaltkreise :)

DukeZhou

2

@DukeZhou Und vor elektronischen / elektromechanischen / mechanischen Computern war der menschliche Computer, der Berechnungen manuell durchführte.

JAB

Und dann fügen Sie ein Umschaltventil hinzu, mit etwas "Blei", um zu kompensieren, dass die Ventile nicht perfekt sind. Ja, mehr Trigger!

AaronD

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Hier ist eine andere Erklärung:

Sinuswellen

Angepasstes Zitat:

Eine Sinuswelle ist eine sich wiederholende Änderung oder Bewegung, die, wenn sie als Diagramm dargestellt wird, dieselbe Form wie die Sinusfunktion hat.

Ein Zitat, das sich mehr mit Elektronik befasst:

Die elektrische Energie in Ihrem Haus ist Wechselstrom oder Wechselstrom. Die Richtung des Stromflusses ändert sich je nach Wohnort 50- oder 60-mal pro Sekunde. Wenn Sie die Spannung gegen die Zeit auftragen, stellen Sie fest, dass es sich auch um eine Sinuswelle handelt, da sie von einem rotierenden Generator stammt.

In dem Link finden sich auch physikalische Beispiele für Sinuswellen hinsichtlich Amplitude, Periode und Frequenz.

Zum Beispiel ein Gewicht, das an einer Feder aufgehängt ist. Während es auf und ab hüpft, ist seine Bewegung im Zeitverlauf eine Sinuswelle.

Michel Keijzers
quelle

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Jetzt können Sie die Tautologie wieder verwenden.

Dirk Bruere

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@DirkBruere Nein, ist er nicht, ein Sinus und eine Sinuswelle sind verschiedene Dinge. Wenn Sie sich nach der Definition eines Sinus erkundigen, ist das völlig unangebracht. Andere Antworten versuchen nur zu sagen: "Ein Sinus ist die Lösung für die Differentialgleichung, die mit einem harmonischen Oszillator verbunden ist. Hier sind einige Stellen, an denen Sie einen harmonischen Oszillator in der Elektronik finden." Fakt ist, dass ein Sinus auf viele Arten definiert werden kann, alle in der Mathematik axiomatisch. Eine Sinuswelle kann nur in dieser Antwort definiert werden.

DonFusili

@DonFusili Danke für die Bemerkung, ich könnte es nicht deutlicher ausdrücken.

Michel Keijzers

1

Irgendwie glaube ich nicht, dass er für diese Antwort viel Anerkennung finden würde, obwohl sie korrekt ist

Dirk Bruere,

2

Meines

Erachtens kann eine Spielsumme

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Die Antwort von Florian Castellane zeigt, dass die Sinuswelle die Lösung für eine sehr grundlegende Differentialgleichung ist. Aber diese Antwort ist möglicherweise schwer zu verstehen, wenn man Differentialgleichungen nicht studiert hat.

Wenn wir schreiben:

$a \cdot f'' + f = 0$ $f'' = -\frac{1}{a}\cdot f$

Das f ist eine Variable, die wir messen, und f '' ist die zweite Ableitung.

Diese Differentialgleichung kommt in der Physik an sehr vielen Stellen vor:

$F = kx$
$\frac{dI}{dt}=\frac{1}{L}\cdot v$

Es gibt aber auch eine andere Quelle von Sinuswellen, und das ist alles, was mit kreisförmiger Rotation zu tun hat. Das Prinzip davon wird in Andy Akas Antwort gut gezeigt. Kreisförmige Rotation verursacht Sinuswellen zB in elektrischen Generatoren und auch in unserem eigenen Sonnensystem.

jpa
quelle

2

Dies. Im Kontext der Elektrotechnik ist die naheliegendste Erklärung, dass es sich um die Lösung eines Systems handelt, dessen zweite Ableitung umgekehrt proportional zum aktuellen Wert ist.

MooseBoys

@jpa, deine "andere Quelle", Kreisbewegung, ist auch ein Ort, an dem die gleiche Differentialgleichung in der Physik vorkommt, oder? Es könnte also nur eine dritte Kugel sein. Ähnlich wie bei Federn ist f die vertikale Komponente der Position, f ' die vertikale Komponente der Geschwindigkeit und f' ' die vertikale Komponente der Beschleunigung. Die Beschleunigung ist linear zur Position, auch wenn sich die Mechanik von denen der Federn unterscheidet.

LarsH

@ LarsH Ja, mathematisch. Aber intuitiv scheint das eher die Konsequenz als der Grund zu sein.

jpa

OKAY. Ich wusste nicht, dass Sie damit meinen, dass Ihre Stichpunkte auf bestimmte Kausalitätsmuster beschränkt sind.

LarsH

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Eine Sinuswelle ist eine Wellenform, die in der Form ausgedrückt werden kann. $A\sin(\omega t + \varphi)$

Aber das ist etwas tautologisch, was macht die Sünde so besonders? Warum betrachten wir Sinuswellen als "reine" Frequenzen?

Und die Antwort darauf ist, wie es sich unter Differenzierung verhält.

\frac{d}{d t} EIN Sünde (ω t + φ) = EIN ω \cos (ω t + φ) = EIN ω Sünde (ω t + φ + \frac{π}{2})

$\frac{d}{dt}A\sin(\omega t + \varphi) = A\omega\cos(\omega t + \varphi) = A\omega\sin(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})$

Die Ableitung einer Sinuswelle ist also eine Sinuswelle mit der gleichen Frequenz. Sicher ist es phasenverschoben und hat eine andere Amplitude, aber es ist die gleiche Frequenz und die gleiche Form.

Abgesehen von der willkürlichen Konstante gilt dasselbe für die Integration.

\begin{aligned} \int EIN Sünde (ω t + φ) d t & = - \frac{EIN}{ω} \cos (ω t + φ) + C \\ = \frac{EIN}{ω} \cos (ω t + φ + π) + C \\ = \frac{EIN}{ω} Sünde (ω t + φ + \frac{3 π}{2}) + C \end{aligned}

$\begin{alignat}{2}\int A\sin(\omega t + \varphi)dt & = -\frac{A}{\omega}\cos(\omega t + \varphi) + C \\ & = \phantom{-}\frac{A}{\omega}\cos(\omega t + \varphi + \pi) +C \\ & = \phantom{-}\frac{A}{\omega}\sin(\omega t + \varphi + \frac{3\pi}{2}) +C \end{alignat}$

Sinuswellen sind die einzigen echten periodischen Funktionen, für die dies gilt. Alle anderen realen periodischen Funktionen ändern ihre Form, wenn sie differenziert oder integriert werden.

Also können wir sagen

"Eine Sinuswelle ist ein periodisches Signal, das seine Form und Frequenz behält, wenn es differenziert oder integriert wird."

Peter Green
quelle

2

A \cos (ω t + φ)

$A\cos(\omega t + \varphi)$

3

Ja, cos ist nur eine phasenverschobene Version der Sünde. Das gilt auch für sie.

Peter Green

2

Ein weiteres verwandtes Problem besteht darin, dass durch Addieren von Asin (ωt + φ) zum Eingang eines linearen Filters für einige filterspezifische Funktionen X (ω) und Y X (ω) sin (ωt + Y (ω)) zum Ausgang addiert wird (ω). Die Form einer Sinuswelle ist nicht nur in Bezug auf Integration und Differenzierung, sondern für jede Art von linearer Filterung unveränderlich . Eine Tatsache, die nützlich sein könnte, wenn man die Beziehung zwischen Integration / Differenzierung und linearen Filtern nicht kennt.

Supercat

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Viele physikalische Systeme ermöglichen das plötzliche und überraschende Auftreten von Sinuswellen. Als Sie jung waren, haben Sie zum Beispiel Wellen im Wasser gesehen, die Bewegung einer Schaukel, nachdem Sie gedrückt und losgelassen haben, und Sie haben versucht, ein steifes Lineal zu biegen und es dann loszulassen. Diese Dinge haben, obwohl sie unterschiedlich sind, eine gemeinsame Eigenschaft: Sie wackeln oder schwingen oder ... vibrieren oder ... im Allgemeinen gehen sie hin und her. Jahre vergehen, dann befinden Sie sich in einem Ingenieur-Kurs, in dem Sie lernen, was mit diesen wackelnden Dingen, die Sie beobachtet haben, wirklich los ist, nur um herauszufinden, dass sie auf die gleiche Weise wackeln! Und das ist Überraschung, Überraschung, die Sinuswelle. Es ist der InbegriffWelle, weil ihre Existenz in der Natur von großer Bedeutung ist. Wer weiß, was passiert, wenn Wellen in ruhigem Wasser Rechteckwellen sind, wenn die Bewegung der Schaukel die Form einer Rechteckwelle hat, und so weiter, dann ist die Rechteckwelle die fundamentale Wellenform. Es kommt einfach vor, dass dies nicht der Fall ist wahr und die Sinuswelle manifestiert sich so sehr im Universum.

Was wirklich faszinierend ist, ist, dass die Sinuswelle aus Dreiecken und Kreisen stammt. Ohne mathematische Kenntnisse ist es wirklich schwierig, die Punkte von dort mit Erscheinungsformen der Sinuswelle in Wasser, Schaukeln, Linealen usw. zu verbinden, aber der Punkt ist, dass die Ableitung einer Sinuswelle eine Sinuswelle ist und Das ergibt sich aus der Geometrie des Kreises und des rechten Dreiecks. Und physikalische Systeme können durch Differentialgleichungen modelliert werden, wodurch die Gewissheit entsteht, dass Sinuswellen in diesen Systemen existieren (auch Exponentiale nicht vergessen; ihre Existenz in der Natur ist ebenfalls von großer Bedeutung; sie haben eine seltsam tiefe Verbindung mit Sinuswellen , was sich letztendlich in Eulers Formel zeigt).

Eine andere Sache über die Sinuswelle ist, dass sie einige Systeme ziemlich gut "durchlaufen" kann. Haben Sie einen sinusförmigen Eingang für ein LTI-System (wie ein System, das nur aus idealen Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten besteht), erhalten Sie einen sinusförmigen Ausgang (insbesondere einen, der die Frequenz des Eingangs beibehält). Mit anderen Worten, die sinusförmige Wellenform ist die einzige eindeutige Wellenform, die ihre Form durch ein LTI-System nicht ändert. Schauen Sie sich diese Vorlesung an.

Und das Traurige an Sinuswellen ist, dass sie technisch nicht existieren. Sinuswellen, die Sie aus der Natur bekommen, haben einige Deformationen, Verzerrungen, Rauschen und auch ideale passive Komponenten, die es nicht gibt. Das Beste, was diese erhalten können, ist eine genaue Annäherung an die Sinuswelle. Wenn jemand jedoch so heikel ist, die Mathematik so voranzutreiben, dass diese Unvollkommenheiten berücksichtigt werden, können die Messungen immer präziser werden (was aufgrund der Quantenmechanik und all des Hokuspokus auf die atomare Ebene beschränkt sein könnte).

mjtsquared
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Die Sinuswelle kommt oft aus Differentialgleichungen und nicht aus Linien und Kreisen, und dort ist die exponentielle Formel geeigneter. Es kommt lediglich vor, dass die Sinusfunktion ein einfacherer Ausdruck ist. als komplexe Potenzierung.

Jasen

Ich sprach über die Definition der Sinus- (und vielleicht auch der Cosinus-) Funktion, der fundamentalen Komponente der Sinuswelle. Ich habe einen kleinen Fehler gemacht, indem ich das nicht erwähnt habe.

mjtsquared

6

Eine orthogonale Projektion eines Punktes, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit und -richtung entlang eines Kreises bewegt, aufgetragen gegen die Zeit.

Tomislav Gudelj
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2

visual: de.wikipedia.org/wiki/File:ComplexSinInATimeAxe.gif

Daniel

Endlich! Es scheint, dass heutzutage jeder die Geometrie vergessen hat!

Jose Manuel Gomez Alvarez

3

Der einfachste Weg, es sich vorzustellen, ist die Projektion einer Helix auf eine Ebene, die die Mittellinie der Helix enthält. Wenn Sie einen Overhead-Projektor mit einer Standard-Schraubenfeder versehen, wird eine Sinuswelle projiziert. (Drehe, um die Phase entsprechend zu korrigieren, wenn du so puristisch bist. :-)

Cristobol Polychronopolis
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3

Ich versuche es ein wenig zu konkretisieren, indem ich die Idee vorschlage, ein "Plotter" -Gerät der alten Schule zu bauen ... etwas, das ein Blatt Papier vor und zurück rollen kann, dann einen Stift und einen Arm hat, der sich nur um eine Achse bewegen kann .

Wenn Sie versuchen, jemanden zum Nachdenken über den Bau einer solchen Maschine zu bewegen, können Sie ihn leicht zum Nachdenken über das Programmieren zum Zeichnen von Linien und Quadraten bewegen. Es ist auch relativ einfach, sie dazu zu bringen, über das Zeichnen eines Diamanten nachzudenken, wenn sie Papier und Stift mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen.

Wenn sie dann darüber nachdenken, was zum Zeichnen eines Kreises erforderlich ist, müssen sie sich überlegen, was sich vom Zeichnen des Diamanten unterscheidet. Sie müssen beschleunigen und dann die Bewegung des Arms verlangsamen und in die andere Richtung gehen.

Ich möchte es auf diese Weise konkretisieren, um die Grafiken zu entmystifizieren.

HostileFork
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3

Stellen Sie sich eine sich drehende Scheibe vor. Richten Sie es vertikal aus. Legen Sie eine Kugel Kaugummi irgendwo auf die Kante. Schau von der Seite. Legen Sie altmodisches Fotopapier dahinter und ein Licht davor. Ziehen Sie das Papier mit einer konstanten Geschwindigkeit, entwickeln Sie es und Sie werden eine Sinuswelle sehen.

Die Sinuswelle ist die grundlegende Lösung für das einfache Problem der harmonischen Bewegung. Dies ist die Differenz y = - k dy ^ 2 / dx ^ 2.

eSurfsnake
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1

Wenn Sie es mit Studenten der Ingenieurwissenschaften zu tun haben / mit jemandem, der sein erstes Jahr (Semester, was auch immer) in der Analysis verbracht hat, können Sie sagen, dass eine Sinusfunktion eine Funktion ist, deren Ableitung selbst um 90 Grad zurück verschoben ist. Mit anderen Worten, die Rate, mit der sich die Position ändert, ist dieselbe wie die Rate, mit der sich die Geschwindigkeit ändert, jedoch nicht gleichzeitig.

John Doe
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-1

Eine Möglichkeit, das Besondere an einer Sinuswelle zu beschreiben, besteht darin, dass es sich um eine "reine" Frequenz handelt. Jede analytische Wiederholungsfunktion kann als eine Kombination von Sinuswellen beschrieben werden. Sinuswellen sind die Bausteine, in die solche Funktionen zerlegt werden können.

Sinus ist auch die "natürliche" Wellenform, die etwas Schwingendes erzeugt. Stellen Sie sich eine Masse vor, die am Ende eines Frühlings baumelt. Sobald Sie es in Gang bringen, wird es auf und ab schwingen. Mit einer perfekten Feder ist diese vertikale Bewegung als Funktion der Zeit ein Sinus. In der realen Welt wird es ein Sinus sein, dessen Amplitude langsam abnimmt, da die Feder jedes Mal, wenn sie gebogen wird, ein wenig Energie verbraucht.

Der gleiche Effekt ist in der Elektronik zu beobachten, in der Kondensator und Induktor parallel geschaltet sind. Wenn Sie die Kappe aufladen, schließen Sie einen Schalter, sodass Induktor und Kappe parallel geschaltet sind. Die Energie schwappt zwischen den beiden auf unbestimmte Zeit hin und her, wenn sie ideal wären. Sowohl die Spannung als auch der Strom sind Sinus, jedoch um 90 ° zueinander phasenverschoben. Genau wie bei der Feder und der Masse werden in der realen Welt beide tatsächlich mit der Zeit in ihrer Amplitude abnehmen, da ein Teil der Energie in den Bauteilen verbraucht wird, weil sie nicht ideal sind. Ich gehe hier näher auf eine solche Induktor- und Kondensatorschaltung ein .

Olin Lathrop
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Wie diskutiert in den Kommentaren auf eine andere Antwort, die das gleiche Argument macht, Sie können in unendliche Summen von Quadrat oder Dreieck Wellen zersetzen. Aber die Mathematik wird nicht so gut, und hier kommt die Besonderheit von ins Spiel sin.

Peter Cordes

Und BTW, der physikalische Begriff für einen idealen Oszillator mit aProportionalität zu -xist ein einfacher harmonischer Oszillator , der einfache harmonische Bewegungen erzeugt. Federn, Pendel (mit kleiner Amplitude sin(theta)~=theta) usw.

Peter Cordes

1

@ Peter: Ja, ich stimme beiden Punkten zu. Ich habe solche Dinge absichtlich aus der Antwort herausgelassen, um sie einfach und allgemeiner zu halten. Jemand, der fragt, was eine Sinuswelle ist, wird Antworten mit viel Mathe wahrscheinlich nicht verstehen. In Anbetracht des Ausmaßes der Frage war mir die Einfachheit der Antwort wichtiger als das Eingehen auf alle Details.

Olin Lathrop

Okay, aber ich glaube nicht, dass Sie der Tautologie aus dem Weg gehen (oder ein korrektes Argument vorbringen), wenn Sie es so formulieren. Der Grund, warum Sinuswellen die natürliche Sache für die Zerlegung von Signalen sind, ist eine Menge komplizierter Mathematik. Es ist nützlich, Signale zu kennen und darauf hinzuweisen, und ich schätze, Sinuswellen, aber es ergibt sich aus anderen Faktoren, wie der Sinus / Cosinus-Ableitung (dasselbe Signal mit unterschiedlicher Phase). Vielleicht können Sie sagen, dass die Zerlegung in Sinuswellen natürlich ist, weil dies die Summe der einfachen harmonischen Oszillatoren ist, um die Mathematik zu umgehen und die beiden Teile Ihrer Antwort zu verbinden.

Peter Cordes

1

@PeterCordes: Wenn Sie eine Sinuswelle durch ein lineares Filter leiten, erhalten Sie entweder Gleichstrom oder eine Welle mit derselben Form und Frequenz. Wenn Sie die meisten nicht sinusförmigen Wellenformen durch die meisten linearen Filter leiten, erhalten Sie Ergebnisse, die Frequenzen enthalten, die im Original nicht vorhanden waren. Wenn man einen Oszillator als eine Gruppe von Filtern betrachtet, die in einem Ring konfiguriert sind, kann ein Oszillator nur solche periodischen Wellenformen unterstützen, die, wenn sie alle Filter durchlaufen, die ursprüngliche Wellenform ergeben. Während einige lineare Filter bestimmte nicht sinusförmige Wellenformen

beibehalten können

-2

Stellen Sie sich jede Art von Wellenform (Rechteck, Dreieck, Sägezahn, Impuls) analog oder digital vor. Alle Wellenformen bestehen aus einer großen Anzahl von Wellenformen, die zusammenaddiert werden (mit unterschiedlichen Frequenzen, Amplituden und Phasen). Diese Art ist als Sinuswelle bekannt.

Yash Raj
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4

Sie können auch alle anderen Wellen in Summen von Dreieckswellen oder in Summen von Rechteckwellen zerlegen. Die Mathematik wäre nicht so schön, weil sines etwas Besonderes ist . Aber warum ist Sünde etwas Besonderes? Sie meiden eine Tautologie nicht wirklich.

Peter Cordes

2

@PeterCordes: Die Antwort sollte weiter gehen, um festzustellen, dass eine Sinuswelle die einzige Art von Welle ist, bei der die lineare Filterung die in einem durchgelassenen Signal vorhandenen Frequenzen nicht ändern kann (außer durch Eliminieren von etwas anderem als Gleichstrom). Wenn man eine Rechteck- oder Dreieckwelle mit der Periode 3 durch die lineare Filterfunktion F (f (t)) = f (t - 1) - f (t) + f (t + 1) führt, ist das Ergebnis ein Rechteck Welle oder Dreieck mit Periode 1 (3x die Frequenz).

Supercat

@supercat Ihr vorgeschlagener Filter gibt kein Dreieck / Rechteck für eine Dreieck / Rechteck-Eingabe. Siehe Eingabe und Ausgabe .

Ruslan

@ Ruslan: Entschuldigung - ich hätte alle drei Ausdrücke positiv ausdrücken sollen, wenn ich einen Punkt von 3 verwendet hätte; Die von mir angegebene Formel wäre für einen Zeitraum von 6 korrekt gewesen. In beiden Fällen werden drei um 120 Grad phasenverschobene Signale addiert. Solch ein Filter behält nicht die Form aller Wellenformen bei, aber es behält die Form einer Reihe von Wellenformen bei, einschließlich Dreieckwelle, Rechteckwelle und Sägezahn.

Supercat

Was ist eine Sinuswelle?

Antworten: