Warum verwenden wir in der Wechselstromanalyse

In der Wechselstromanalyse ist wenn wir uns mit s L oder 1 / s C befassen . Aber für ein Laplace - Transformation, s = σ + j ω .$s=j\omega$$sL$$1/sC$$s=\sigma+j\omega$

Entschuldigen Sie die Unklarheit, aber ich möchte die folgenden Fragen verbinden:

• Warum ist Sigma gleich Null?
• Ist die Neper-Frequenz damit verbunden?
• Sigma ist auf Null als Eingangssignal gleich eine Sinuskurve mit konstanter ?$\pm V_{max}$

Natürlich ist ; per Definition. Was passiert, ist, dass σ ignoriert wird, weil angenommen wird, dass es Null ist. Der Grund dafür ist, dass wir die Reaktion des Systems auf periodische (und damit nicht abklingende) sinusförmige Signale untersuchen, wobei Laplace zweckmäßigerweise entlang der imaginären Achse auf Fourier reduziert wird. Die reale Achse in der Laplace-Domäne repräsentiert exponentielle Zerfalls- / Wachstumsfaktoren, die reine Signale nicht haben und die Fourier nicht modelliert.$s = \sigma + j\omega$$\sigma$

Für die Wechselstromanalyse wird angenommen, dass die Schaltung sinusförmige Quellen (mit der gleichen Winkelfrequenz ) hat und dass alle Transienten abgeklungen sind. Dieser Zustand ist als sinusförmiger stationärer Zustand oder Wechselstrom-stationärer Zustand bekannt$\omega$ .

Dies ermöglicht die Schaltung in dem zu analysierenden Phasor - Domäne .

Mit der Euler-Formel haben wir:

$v_A(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega t})$

Die Phasor mit zugehörigen ist , dann → V a = A e $v(t)$$\vec V_a = Ae^{j\phi}$ die nur eine komplexe Konstante ist, die den Betrag und die Phaseninformation des Zeitbereichssignals enthält.

Daraus folgt, dass wir unter diesen Bedingungen die Schaltung analysieren können, indem wir die Zeigerspannungen und -ströme verfolgen und die folgenden Beziehungen verwenden:

$\dfrac{\vec V_l}{\vec I_l} = j\omega L$

$\dfrac{\vec V_c}{\vec I_c} = \dfrac{1}{j\omega C}$

$\dfrac{\vec V_r}{\vec I_r} = R$

We then recover the time domain solution via Euler's formula.

Now, there is a deep connection between phasor analysis and Laplace analysis but it is important to keep in mind the full context of AC analysis which is, again:

(1) the circuit has sinusoidal sources (with the same frequency $\omega$)

(2) all transients have decayed

The reason why $S=j\omega$ is chosen to evaluate AC signals is that it allows to convert the Laplace transform into Fourier transform.

The reason is that while S is a complex variable, what's used in the Fourier representation is just the rotational (imaginary) component, hence $\sigma=0$.

You may find some more at this Stanford page.

Laplace transform transfer function (TF) analysis gives the complete response to a sinusoidal input signal from t=0. The solution generally contains transient terms, which decay to zero exponentially, and steady-state terms which remain after the exponentials have disappeared. When we have the poles and zeros of a TF, eg s=-a+jw, the '-a' part gives the exponential (e^-at) response, and the jw part gives the sinusoidal steady-state response: (e^jwt) = cos(wt) + jsin(wt). If we are only interested in the steady-state part of the response (as is the case in frequency response analysis) then we can just use the substitution s=jw in the TF.

Note that e^jx = cos(x) + jsin(x) is 'Euler's Identity' and is one of the most important and useful relationships in science and engineering.

This is only used for "Sin" and "Cos" which is the case of AC signal. Note: The laplace trasnform of sin(at) or cos(at) "1/jw+ a" or "jw/jw+a" that This can be proven using the identiy of the sin and cos using Euler's identity which is basically just 2 exponentials, and the laplace of the exponential has only the imaginary part "jw".

I will write down the proof and post it here. :)

If you look at the formula of Fourier and Laplace transform, you will see that 's' is Laplace transform is replaced by 'jw' in Fourier transform. That is why you can get the Fourier transform from Laplace transform by replacing 's' with 'jw'.