Was ist der erste Momentbereich eines abgerundeten Rechtecks? [geschlossen]

Ich muss den plastischen Abschnittsmodul eines rechteckigen Abschnitts mit abgerundeten Ecken berechnen. Zuerst muss ich die Formel für den ersten Moment eines Quadranten kennen. Ich kann es nirgendwo im Internet finden. Weiß jemand?

Ich habe keine einfache Formel, aber so würde ich damit umgehen. Angenommen, die vier Ecken sind kreisförmig mit gleichem Radius r, so dass Symmetrie vorliegt, das erste Moment der Fläche von eine Hälfte der Abschnitt sollte sein:

$$ S_ {half} = S_ {half \, rect} -2S_ {Ecke} $$

woher

• $ S_ {half \, rect} = b (h / 2) (h / 4) = \ frac {bh ^ 2} {8} $ der erste Moment von Fläche des halben Rechtecks ​​(mit intakten Ecken) um die neutrale Achse und

• $ S_ {Ecke} $ Der erste Moment der Fläche des entfernten Materials von jedem Ecke um die neutrale Achse.

  

So finden Sie $ S_ {Ecke} $

Wir müssen die Fläche und den Abstand des Schwerpunkts von der neutralen Achse des Abschnitts ermitteln. Es ist hilfreich, die entfernte Ecke als Viertelkreis zu betrachten, der von einem r x r-Quadrat abgezogen wird (siehe Abbildung unten). Die Fläche wird dann einfach gefunden, indem von dem kleinen r x r-Quadrat, einem kreisförmigen Viertel, subtrahiert wird (siehe Abbildung unten): $$ A_ {Ecke} = r ^ 2 - \ frac {πr ^ 2} {4} $$

Der Schwerpunkt des entfernten Eckbereichs relativ zur oberen Kante wird in ähnlicher Weise gefunden, wenn man den Schwerpunkt des rxr-Quadrats (roter Punkt) betrachtet, der sich $ y = r / 2 $ unterhalb der Oberkante und der Schwerpunkt des Viertelkreises (blau) befindet Punkt), der sich $ y = r- \ frac {4r} {3 \ pi} $ vom oberen Rand befindet. Wenn wir beide kombinieren, erhalten wir den Abstand des Schwerpunkts der entfernten Ecke vom oberen Rand:

$$ y_ {corner} = \ frac {1} {A_ {corner}} \ left (r ^ 2 \ cdot \ frac {r} {2} - \ frac {\ pi r ^ 2} {4} \ left ( r- \ frac {4r} {3 \ pi} \ right) \ right) $$

Nach dem Finden des obigen ist das erste Moment der Fläche einer entfernten Ecke um die neutrale Schnittachse: $$ S_ {Ecke} = A_ {Ecke} \ left (\ frac {h} {2} - y_ {Ecke} \ right) $$

Endlich

Durch Ersetzen von $ S_ {Ecke} $ in die 1. Formel erhalten wir den ersten Flächeninhalt des halben Abschnitts $ S_ {Half} $. Dann ist der plastische Modul des gesamten Abschnitts unter Ausnutzung der Symmmetrie:

$$ Z = 2S_ {halb} $$

Zur Überprüfung des Ergebnisses ein abgerundeter Rechteckrechner kann sich als nützlich erweisen.