Ich habe versucht, die Randbedingungen für eine DE-Gleichung vierter Ordnung für eine Biegekreisplatte zu finden. Ich gehe von einer Winkelsymmetrie und einer gleichmäßigen Druckverteilung aus.
Verschiebungsgleichung
$$ D \ nabla ^ 2 \ nabla ^ 2w (x, y, t) + h \ rho \ frac {\ partielle ^ 2 {w}} {\ partielle {t} ^ 2} (x, y, t) = P (t) $$
D: Biegesteifigkeit (konstant)
h: Dicke
$ \ rho $: Dichte
P (t): Druck (gleichmäßig auf die Membran aufgebracht)
Umrechnung in Polarkoordinaten
$$ \ nabla ^ 2 \ nabla ^ 2w (x, y, t) = \ frac {1} {r ^ 3} \ frac {\ partiell {w}} {\ partiell {r}} - \ frac {1} {r ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 {w}} {\ partial {r} ^ 2} + \ frac {2} {r} \ frac {\ partial ^ 3 {w}} {\ partial {r } ^ 3} + \ frac {\ partial ^ 4 {w}} {\ partial {r} ^ 4} $$
Jetzt muss ich lösen
$$ D (\ frac {1} {r ^ 3} \ frac {\ partiell {w}} {\ partiell {r}} - \ frac {1} {r ^ 2} \ frac {\ partiell ^ 2 {w }} {\ partial {r} ^ 2} + \ frac {2} {r} \ frac {\ partial ^ 3 {w}} {\ partial {r} ^ 3} + \ frac {\ partial ^ 4 {w }} {\ partial {r} ^ 4}) + h \ rho \ frac {\ partial ^ 2 {w}} {\ partial {t} ^ 2} (r, t) = P (t) $$
Die Randbedingungen habe ich aktuell
$ \ frac {\ partial {w}} {\ partial {t}} (r = a, t) = 0 $
$ w (r = a, t) = 0 $
$ \ frac {\ partial {w}} {\ partial {t}} (r = 0, t) = 0 $
Mein Ziel ist es, es mit N Unterteilungen zu diskretisieren und das System in den Zustandsraum umzuwandeln, damit ich P (t) als Controller verwenden sowie einen Bode-Plot erstellen und die Resonanzfrequenzen des Systems betrachten kann. Ich glaube, dass ich eine zusätzliche Randbedingung brauche, da die räumliche Ableitung in der Größenordnung von 4 liegt.
Ich plane auch, zentrale und vorwärts / rückwärts endliche Differenzen der Ordnung 4 zu verwenden, um die räumlichen Differenzen zu ersetzen. Möglicherweise bestellen Sie 2, da dies das Problem vereinfachen würde.