Wie gehe ich mit einer Punktkraft um, die direkt auf das Scharnier eines Balkens wirkt?

Ich habe versucht, eine Frage zu lösen, bei der eine Punktkraft auf das Scharnier eines Balkens einwirkt. Hier ist das Problem:

Ich bin nicht sicher, wie ich mit der 2-kN-Punktkraft bei umgehen soll ( und sind die Scharniere). Wenn ich den Balken in die drei Teile , und aufteile , weiß ich nicht, wohin diese 2-kN-Kraft gehen soll. Wenn ich es in beide Gleichgewichtsgleichungen von und , ist die Summe von unausgeglichen. Ich glaube, dieses Problem ist statisch determiniert, aber ich stecke gerade an diesem Punkt fest. Ich möchte meine Arbeit hier noch nicht anfügen, da ich es wirklich gerne selbst mit ein wenig Klarheit und Hilfe angehen würde.$C$$C$$E$$\overline{AC}$$\overline{CE}$$\overline{EG}$$\overline{AC}$$\overline{CE}$$F_y$

Während dieser Strahl fünf Nebenbedingungen aufweist ( , , , , ), ist er tatsächlich statisch bestimmt. Bei einer statisch unbestimmten Struktur gibt es mehr Unbekannte (in diesem Fall Einschränkungen) als statische Gleichgewichtsgleichungen. Normalerweise hat man drei Gleichungen: , , (wobei beliebiger Punkt ist). Scharniere geben uns jedoch jeweils eine zusätzliche Gleichung: , wobei$X_A$$Y_A$$M_A$$Y_F$$Y_G$$\sum F_X = 0$$\sum F_Y = 0$$\sum M_? = 0$$?$$\sum M_{h\pm} = 0$$h\hspace{-2pt}\pm$ist eine Seite des Scharniers (links oder rechts), wie in dieser Frage. Dies unterscheidet sich von der globalen Null-Biegemoment-Gleichung, bei der alle Kräfte zu beiden Seiten des Scharniers berücksichtigt werden. Addiert man die zwei zusätzlichen Gleichungen, die durch die Scharniere bei und zu den drei globalen Gleichgewichtsgleichungen, so haben wir so viele Gleichungen wie wir Einschränkungen haben (5) und können dieses Problem daher mit den herkömmlichen Mitteln lösen.$C$$E$

Abgesehen davon gibt es einen viel einfacheren Weg, der ganz praktisch ist, ohne Rechenhilfen .

Für diesen praktischen Ansatz muss das Doppelscharnier im Bereich beachtet werden . Dies bedeutet, dass das Biegemoment bei und Null sein muss, ähnlich wie bei einem einfach abgestützten Träger (eine ausführlichere Erklärung, warum dieser Vergleich gültig ist, ist am Ende zu sehen).$\overline{CE}$$C$$E$

Ersetzen wir diesen Balken durch die folgenden Teile (beachten Sie, dass die Lasten an und vorerst leer bleiben):$C$$E$

Das Auflösen des Strahls, der ist trivial. Im Moment brauchen wir nur die Reaktionen, die bei jeder Unterstützung .$\overline{CE}$$3\text{kN}$

Nun nimm diese Reaktionen und wirf sie auf die anderen Teile, wobei du daran denkst, dass bei auch die konzentrierte -Kraft vorhanden ist, die hinzugefügt werden muss. Wir haben also:$C$$2\text{kN}$

Die anderen Teile sind ebenfalls isostatisch und können trivial gelöst werden (vorausgesetzt, man weiß, wie man Schnittgrößen von isostatischen Strukturen erhält). Die resultierenden inneren Kräfte sind (ich habe die Stütze bei geändert , um das Teil für horizontale Kräfte stabil zu machen, was in diesem Fall nichts ändert):$G$

Diese Diagramme sind identisch mit denen des Originalstrahls:

Ein einfacher Grund für den Vergleich zwischen diesen Doppelscharnieren und einem einfach gehaltenen Träger ist, dass dies das Grundprinzip hinter Gerber-Trägern ist (was im Grunde genommen darstellt). Es sind Strahlen, die auf anderen Strahlen aufliegen (siehe Beispiel hier)$\overline{CE}$(wo die Balken rechts und links Gerber-Balken sind) und die daher vom Rest der Struktur "abgehoben" werden können, gelöst und ihre Reaktionen dann auf den Rest der Struktur verteilt werden. Man muss sich nicht um den Einfluss äußerer Kräfte oder benachbarter Balken kümmern, die Scherkräfte übertragen, da das Biegemoment an jedem Ende des Gerber-Balkens null sein muss. Dies bedeutet, dass das Integral der Scherung entlang des Gerber-Trägers Null sein muss, was nur auftreten kann, wenn nur die Lasten innerhalb des Trägers und die Reaktionen an seinen Extremitäten berücksichtigt werden.

Das Programm, das ich für diese Diagramme verwendete, war Ftool , ein kostenloses 2-D-Frame-Analysetool.

Ich gehe davon aus, dass Sie wissen, wie Sie die Reaktionen finden, aber Sie sind sich der beiden Scharniere bei C und E nicht sicher, da dies Ihr Hauptanliegen zu sein scheint. Wenn Sie sich nicht sicher sind, wie Sie die Reaktionen berechnen sollen, kann ich dies später hinzufügen. Ich habe SkyCiv Beam verwendet , um die Reaktionen zu finden:

Wie Sie sehen können, gleichen sich diese Reaktionen gut aus:

$$\sum F_y = 11 + 10 + 5 - (6+2+6+2\times6) = 26 - 26 = 0\text{ kN} \\ \sum M_A = -32 +6(2)+2(4)+6(5)+12(11)- 10(8) -5(14)= 0\text{ kN.m}$$

Jetzt spielt es keine Rolle mehr, ob Sie die 2-kN-Punktlast am Scharnier C am Stab AC oder CE einbeziehen. Nehmen Sie es einfach in das Freikörperdiagramm (FUP) für das eine oder das andere Mitglied auf (NICHT für beide!).

Lassen Sie uns die 2-kN-Punktlast bei C auf das rechte Ende von Stab AC und nicht auf das linke Ende von Stab CE einwirken. Denken Sie daran, dass ein Moment NICHT am Scharnier C unterstützt werden kann:

$$\sum F_y = 0\\ 11 - 6 - 2 + H_C = 0\\ \therefore H_C = 3\text{ kN}$$

Betrachten Sie nun das Mitglied CE (wieder kein Moment bei C oder E). Die Kraft Hc muss in die entgegengesetzte Richtung wie in der FBD für das Mitglied AC verlaufen:

$$\sum F_y = 0\\ H_C + H_E -6 = 0\\ 3 + H_E - 6 = 0\\ \therefore H_E = 3\text{ kN}$$

Betrachten Sie zuletzt das Mitglied EG, um zu bestätigen, dass alles in Ordnung ist (wieder muss die Kraft bei E der in der FBD für das Mitglied CE entgegengesetzt sein):

$$\sum F_y = -H_E + 10 + 5 - 12 = -3 + 10 + 5 - 12 = 0 \text{ }\checkmark$$

Schauen wir uns das Scherkraftdiagramm (SFD) unten an und verstehen, warum es nicht wirklich wichtig ist, auf welches Element die 2-kN-Punktlast wirkt. Wir haben früher gelöst, dass bei Punkt C die Scherkraft Hc = 3 kN war. Wie Sie im SFD sehen können, gibt es am Punkt C ZWEI Werte (x = 4 m): 5 kN und 3 kN. Offensichtlich ist der Unterschied zwischen diesen Werten die 2 kN Punktlast. Wenn wir die Punktlast in unserem Diagramm für Stab CE anstelle von Stab AC addiert hätten, hätten wir die Scherkraft am Punkt C mit Hc = 5 kN gelöst. Sie können es also in jedes Mitglied aufnehmen, und es ist korrekt - schließen Sie es einfach nicht in beide Mitglieder ein.

SkyCiv Beam ist ziemlich praktisch für solche Analysen und eine gute Möglichkeit, Ihre Logik, Antworten und Ergebnisse zu überprüfen. Es löst auch das Biegemomentendiagramm (BMD), wenn Sie es benötigen, plus Durchbiegung, Spannung unter anderem.