Fehlerbewertung der Berechnung unter Verwendung von nicht projizierten oder projizierten Daten

Diese Frage baut auf der Frage mit der Betreffzeile "Berechnung der Flussrichtung und Abgrenzung von Becken aus projizierten und nicht projizierten Daten" auf: Berechnung der Flussrichtung und Abgrenzung von Becken aus projizierten und nicht projizierten DEM-Daten

Dies ist jedoch eine völlig separate Frage, da die oben genannte Frage festgestellt hat, dass es Probleme bei der Verwendung von Algorithmen (z. B. ArcGIS-Flussrichtung) gibt, die einen euklidischen Abstand zu Daten in einem sphärischen / nicht projizierten geografischen Koordinatensystem annehmen.

Wir wissen, dass Kartenprojektionen so etwas wie das Nehmen einer Orangenschale und der Versuch, sie auf einem Schreibtisch zu glätten, sind - Sie werden einen Fehler haben, der von Natur aus durch die Kartenprojektion verursacht wird. Es scheint jedoch, dass die Vorteile der Projektion alle aufgetretenen Fehler ausgleichen, insbesondere wenn Sie Berechnungen ausführen, die eine kartesische / projizierte planare Oberfläche annehmen. In diesem Fall ist der Algorithmus, an dem ich interessiert bin, der ArcGIS-Flussrichtungsalgorithmus, der davon ausgeht, dass Ihre Daten projiziert werden (und dies ist die Annahme, die von den meisten Anwendungen aufgrund meiner Forschung angenommen wird), da er einen euklidischen Ansatz zur Berechnung der Entfernung verwendet.

Meine Frage ist : Wie kann man den Fehler quantifizieren, der bei der Berechnung der Strömungsrichtung in einem bestimmten Untersuchungsgebiet auftreten kann, indem nicht projizierte DEM-Daten (DEM-Daten in einem geografischen Koordinatensystem) oder projizierte Daten (DEM-Daten in einer geeigneten Projektion wie z UTM oder etwas Konformes)?

Zugegeben, Sie können ein Flussrichtungsraster mit nicht projizierten und dann projizierten DEM-Daten ableiten. Aber was dann? Da unser Ziel darin besteht, die Erdoberfläche so genau wie möglich zu modellieren (und wir keine Fehler ansprechen, die bei der Erstellung des ursprünglichen DEM usw. auftreten könnten - sind diese für mich eine Konstante). .... nehmen wir einfach an, dass die aus dem projizierten DEM abgeleiteten Flussrichtungsdaten besser sind, und vergleichen dann die einzelnen Zellenwerte der beiden Raster, um festzustellen, welche Zellen unterschiedliche Richtungswerte haben (im Kontext des normalen D-8-Modells) )? Um dies zu tun, müssten Sie das aus nicht projizierten Daten abgeleitete Raster für die Flussrichtung verwenden und dann dieselbe Projektion anwenden, die auch für das Raster für die projizierte Flussrichtung verwendet wird.

Was wäre am sinnvollsten und womit sollte das nicht projizierte DEM als Maßstab für die Genauigkeit verglichen werden?

Wenn Sie sich mit den Details der mathematischen Gleichungen befassen, kann dies für diejenigen, die sie verstehen, einen Beweis auf dem Boden liefern und für einige ausreichen, aber auch für etwas, das den Fehler an jemanden weitergeben könnte, der kein In hat Ein tiefes Verständnis der Mathematik, aber möglicherweise nur genug Geografie / GIS, um gefährlich zu sein, wäre großartig (im Idealfall wären beide Ebenen gut, was bei den Hardcore-Geografie-Geeks und dem durchschnittlichen GIS-Dabbler Anklang finden würde). Wenn die Leute auf höherer Ebene sagen, dass der Beweis in der Mathematik liegt, bleibt er möglicherweise etwas offen für Argumente - ich suche nach etwas Greifbarerem (z. B. ähnlich einer Dollar-Zahl mit einer Art Ineffizienz in der Regierung).

Alle Gedanken oder Ideen, wie man dies quantifizieren könnte, wären sehr dankbar.

Tom

Die Analyse wurde bereits in einer Antwort auf die vorangegangene Frage durchgeführt , aber vielleicht hilft eine Illustration.

Es gibt zwei Hauptfehlerkomponenten: den "d8" -Algorithmus, der Flüsse in nur acht Himmelsrichtungen darstellt, und den Effekt der Projektion (oder dessen Fehlen). Konzentrieren wir uns auf Letzteres, denn dies scheint das Hauptanliegen zu sein.

Der Fehler hängt von den Verzerrungen in der Projektion und vom Gelände selbst ab. Lokal über eine kleine Region belaufen sich alle Projektionsverzerrungen auf der Erdoberfläche auf eine Dehnung in einer Richtung im Vergleich zu einer senkrechten Richtung: Aus diesem Grund ist eine (richtig berechnete) Tissot-Indikator eine perfekte Ellipse, da eine Ellipse nur ein gestreckter Kreis ist. Das Gelände kann jeden Aspekt haben (Strömungsrichtung). Schauen wir uns dazu ein Gelände an, das tatsächlich Punkte in alle möglichen Richtungen mit einfachen Flusslinien aufweist: einen Kegel .

Auf dieser farblich schattierten Konturkarte der Kegelhöhe befindet sich eine Sammlung von Stromlinien, die die Richtungen anzeigen , in die das Wasser fließen würde. Sie können bestätigen, dass diese Stromlinien korrekt sind, indem Sie überprüfen, ob sie die Konturen im rechten Winkel kreuzen.

Durch Auswahl geeigneter Maßeinheiten und eines geeigneten Ursprungs für das Koordinatensystem (an der Spitze des Kegels) ist die Gleichung für die Höhe in Bezug auf die Koordinaten (x, y) einfach

z = -Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

Die Stromlinien verlaufen immer parallel zum Gradienten von z (in umgekehrter Richtung), berechnet durch Differenzieren dieser Formel in Bezug auf x und y :

-Grad (z) = (x, y) / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2).

Der Koeffizient 1 / Sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) ändert die Richtung nicht, daher können wir ihn ignorieren, um Stromlinien zu verstehen. Somit zeigt die Stromlinie an jeder Stelle (x, y) in die Richtung (x, y).

Durch eine horizontale Dehnung in den Koordinaten (in diesem Bild um den Faktor 2) werden alle Konturen gedehnt (ohne die Konturebenen zu ändern: Höhen werden durch Projektionen nicht beeinflusst). Obwohl (natürlich) die Konturen repräsentieren echte Kreise, sie nicht mehr aussehen wie echte Kreise auf der Karte. Wenn die Stromlinien in diesen Koordinaten berechnet werden , müssen sie die Konturen jedoch wie zuvor im rechten Winkel kreuzen.

Durch die Dehnung wird die Höhe an einem beliebigen Koordinatenpunkt (x, y) an neuen Koordinaten (Dehnung x, y) platziert. Betrachten Sie dies umgekehrt: Die Höhe an den Koordinaten (X, Y) = (Dehnung x, y) muss der Wert von z sein, der bei (x, y) = (X / Dehnung, Y) berechnet wurde. Daher lautet die Gleichung der scheinbaren Oberfläche in dieser Projektion

z = -Sqrt ((x / Strecke) ^ 2 + y ^ 2).

Differenzieren berechnen wir

-Grad (z) = (x / Strecke ^ 2, y) / Sqrt ((x / Strecke) ^ 2 + y ^ 2).

Wieder spielt der gemeinsame Faktor keine Rolle; Somit zeigt die berechnete Stromlinie an jeder Stelle (x, y) in die Richtung (x / Strecke ^ 2, y) . Dies war die Formel, mit der die Stromlinien im vorhergehenden Bild gezeichnet wurden. Sie können sehen, dass sie die Konturen im rechten Winkel korrekt kreuzen.

Dieses dritte Bild projiziert das vorherige Bild neu. Die Oberfläche wird noch einmal ohne Verzerrung gezeigt. Die Stromlinien scheinen die Konturen jedoch nicht mehr rechtwinklig zu kreuzen. Dies war sogar im vorherigen Bild der Fall: Aufgrund der Verzerrung darin schienen die Winkel nur rechte Winkel zu sein. Die Überfahrten waren die ganze Zeit falsch. Deshalb ist es ein Fehler, nicht zu projizieren (oder eine fehlerhafte Projektion zu verwenden). Die Frage ist, wie groß der Fehler sein könnte. Einige haben behauptet, es sei von geringer Bedeutung (zumindest in niedrigen bis mittleren Breiten).

Diese Neuprojektion (um Verzerrungen in der Karte zu entfernen) verschiebt den Punkt bei (x * Strecken, y) zurück zu (x, y). Die zuvor an diesem Punkt berechnete Stromrichtung wurde in einem Raster gespeichert (als Winkel oder Richtungscode): Sie ändert sich nicht. Daher ist die berechnete Stromrichtung bei (x, y) (x / Strecke ^ 2, y).

Dies quantifiziert die Auswirkung einer Neuprojektion auf alle möglichen Strömungsrichtungen, wie durch die Differenz zwischen der ersten und der letzten Grafik gezeigt. Hier ist ihre Überlagerung ohne das Konturdiagramm zur Ablenkung:

Die Reprojektion wirkt sich unterschiedlich auf die Richtungen aus, je nachdem, wie die Strömung in Bezug auf die Hauptachse der Tissot-Indikator ausgerichtet ist. Es ist eine quadratische Funktion der relativen linearen Verzerrung in der Projektion. Als solches übertreibt es sogar geringfügige Verzerrungen. (Der hier dargestellte Faktor zwei ist etwas extrem, aber realistisch: Es handelt sich um die Verzerrung, die entsteht, wenn die geografischen Koordinaten nicht als Kartenkoordinaten in Breiten von 60 Grad projiziert werden.)

Mit ein wenig Trigonometrie kann man diese Ergebnisse verwenden, um den Winkelfehler in Strömungsrichtung als Funktion der richtigen Richtung zu berechnen. Hier ist eine grafische Darstellung der Fehler, die mit der Verwendung eines geografischen (nicht projizierten) Koordinatensystems in den Breiten 20, 30, 40, 50 und 60 Grad verbunden sind. (Natürlich sind die größeren Fehler mit höheren Breiten verbunden.)

Die "wahre Richtung" ist in Grad östlich von Norden. Positive Winkeldifferenzen treten auf, wenn die scheinbare Richtung (berechnet ohne Projektion von lat, lon) gegen den Uhrzeigersinn der wahren Richtung liegt.

Denken Sie daran, dass Sie die d8-Fehler darüber legen müssen!