Zweck der Verwendung von Fidelity beim randomisierten Benchmarking

Wenn zwei Dichtematrizen, und (wie wenn eine experimentelle Implementierung eines idealen ), verglichen werden , ist die Nähe dieser beiden Zustände häufig durch die Quantenzustandsgenauigkeit wobei die Untreue als .$\rho$$\sigma$$\rho$$\sigma$

$$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$$ $1-F$

Wenn man vergleicht, wie nahe eine Implementierung eines Gatters an einer idealen Version liegt, wird die Wiedergabetreue gleich wobei das Haar-Maß über reinen Zuständen ist. Es ist nicht überraschend, dass die Arbeit damit relativ unangenehm wird.

$$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$$ $d\psi$

Definieren wir nun eine Matrix $M = \rho - \sigma$ bei Dichtematrizen oder $M = U - \tilde U$ bei der Arbeit mit Gattern. Dann sind die Schattennormen ¹ , wie $\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$ , $\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$ , oder andere Normen wie die Diamantnorm können berechnet werden.

Diese Normen sind oft leichter zu berechnen ² als die oben Fidelity. Was die Sache noch schlimmer macht, ist, dass in randomisierten Benchmarking- Berechnungen Untreue nicht einmal ein großartiges Maß zu sein scheint, sondern die Zahl, die jedes Mal verwendet wird, wenn ich nach Benchmarking-Werten für Quantenprozessoren suche. ³

So ist Warum (in) Treue die Go-to - Wert für die Berechnung der Gate - Fehler in den Quantenprozessoren (unter Verwendung von randomisierten Benchmarking), wenn es nicht zu haben scheint eine hilfreiche Bedeutung und andere Methoden, wie zum Beispiel Schatten Normen, sind leichter zu berechnen auf einem klassischen Computer?

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^{1 Die Schatten p-Norm von $M$ ist $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2 dh ein Rauschmodell an einen (klassischen) Computer anschließen und simulieren}

^{3 Wie IBMs QMX5}

Nielsen und Chuang haben in ihrem Buch "Quantum Computation and Quantum Information" einen Abschnitt (Kapitel 9) über Abstandsmaße für Quanteninformationen.

Überraschenderweise heißt es in Abschnitt 9.3: "Wie gut bewahrt ein Quantenkanal Informationen?" dass beim Vergleich der Wiedergabetreue mit der Trace-Norm:

Unter Verwendung der im letzten Abschnitt ermittelten Eigenschaften der Spurweite ist es nicht schwierig, zum größten Teil eine parallele Entwicklung auf der Grundlage der Spurweite zu erhalten. Es stellt sich jedoch heraus, dass die Wiedergabetreue ein einfacher zu berechnendes Werkzeug ist, und aus diesem Grund beschränken wir uns auf Überlegungen, die auf der Wiedergabetreue beruhen.

Ich stelle mir vor, dies ist zum Teil der Grund, warum Treue verwendet wird. Es scheint ziemlich nützlich als statisches Maß für die Entfernung zu sein.

Es scheint auch relativ einfache Erweiterungen der Treue zu Staatenensembles zu geben

$$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$$

ρ j E$p_j$ die Wahrscheinlichkeit, das System in den Zuständen , und der bestimmte interessierende verrauschte Kanal, .$\rho_j$$\mathcal{E}$$0\leq F\leq 1$

Es gibt auch eine Erweiterung der Verschränkungstreue, um zu messen, wie gut ein Kanal die Verschränkung bewahrt. Unter der Annahme, dass ein Staat in irgendeiner Weise in die Außenwelt verwickelt ist, und einer Reinigung des Staates (fiktives System ), dass rein ist. Der Zustand wird im Kanal . Die Primzahlen geben den Zustand nach Anwendung der Quantenoperation an. ist die Identität Karte auf System .R R Q E $Q$$R$$RQ$$\mathcal{E}$$\mathcal{I}_R$$R$

$$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$$

Es gibt einige Formeln, die abgeleitet wurden, um die Berechnung der Wiedergabetreue und der Verschränkungstreue zu vereinfachen, die ebenfalls in diesem Kapitel angegeben sind.

Eine der attraktiven Eigenschaften der Verschränkungstreue ist, dass es eine sehr einfache Formel gibt, mit der sie genau berechnet werden kann.

$$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$$

wobei die 'Operationselemente' eine Vollständigkeitsrelation erfüllen. Vielleicht kann jemand anderes mehr praktische Implementierungen kommentieren, aber dies ist, was ich aus dem Lesen zusammengetragen habe.$E_i$

Update 1: Re M.Stern

Es ist die gleiche Referenz Nielsen und Chuang. Sie kommentieren dies, indem sie sagen: "Sie mögen sich fragen, warum die Genauigkeit, die auf der rechten Seite der Definition erscheint, quadriert ist. Es gibt zwei Antworten auf diese Frage, eine einfache und eine komplexe. Die einfache Antwort lautet, dass man diesen quadratischen Term mit einbezieht Die Treue des Ensembles hängt natürlicher mit der im Folgenden definierten Verschränkungstreue zusammen: Die komplexere Antwort lautet, dass sich die Quanteninformationen derzeit in einem Zustand der Kindheit befinden und nicht ganz klar ist, wie die „richtigen“ Definitionen für Begriffe wie Informationen lauten Dennoch, wie wir in Kapitel 12 sehen werden, führen die durchschnittliche Wiedergabetreue des Ensembles und die Wiedergabetreue der Verstrickungen zu einer reichen Theorie der Quanteninformation, die uns glauben lässt, dass diese Maßnahmen auf dem richtigen Weg sind.

Um Ihre zweite Frage zu beantworten , warum sie nicht an der Treue , dann ist es ein schöner Punkt erwähnt in „Unterscheidbarkeit Maßnahmen zwischen Ensembles von Quantenzuständen“ , die ich denke , in PhysRevA ist , aber es gibt eine arXiv - Version hier .$\bar{\rho}$

Der Punkt, den sie auf Seite 4 erwähnen, ist der, dass Sie zwei Ensembles und die zufällig dieselbe Matrix der durchschnittlichen Dichte des Ensembles haben: , dann die Wiedergabetreue kann nicht zwischen ihnen unterscheiden.σ ˉ ρ = ˉ $rho$$\sigma$$\bar{\rho}=\bar{\sigma}$$F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

Update 2: Re Mithrandir24601 Eine Definition für die Gate-Treue beruht auf der Überlegung, wie sich ein Kanal für einen bestimmten Eingangszustand im schlimmsten Fall verhält .$\mathcal{E}$

$$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$$

Aufgrund der Konkavität in beiden Argumenten können Sie sich bei dieser Minimierung auf reine Zustände beschränken, die Äquivalenz im zweiten Teil ist nur eine Notation.

Wenn man definiert, wie gut ein Gatter implementiert ist, kann man auch eine Worst-Case-Implementierung eines einheitlichen Gatters durch einen Kanal durch Definieren betrachten$U$$\mathcal{E}$

$$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$$

In der von Ihnen angegebenen Formel und dem von Ihnen verknüpften Papier werden sie über mit einem geeigneten Maß . Dies lässt mich denken, dass dies stattdessen als durchschnittliche Wiedergabetreue , von der Sie sich vorstellen können, dass sie in praktischen Experimenten nützlicher ist, insbesondere wenn Sie das Experiment wiederholen. Es ist wahrscheinlich unwahrscheinlich, dass das genaue Minimum erreicht wird.* ˉ F ( U , ~ U$\psi$$^*$$\bar{F}(U,\tilde{U})$

Es gibt eine arXiv Version eines Papiers hier von Michael Nielsen , wo er über durchschnittliche Gate Treue spricht.

Der einzige zusätzliche Unterschied zwischen der Wiedergabetreue für ein Gate und der durchschnittlichen Wiedergabetreue eines erwähnten Gates gegenüber der von Ihnen ursprünglich angegebenen Formel ist das Quadrat der Ablaufverfolgung: Sie haben. Wie in Update 1 bevorzugen einige Leute als Wiedergabetreue anstelle von , da es angeblich leichter mit der Wiedergabetreue verbunden werden kann. Ich muss ein bisschen mehr darüber lesen, um richtig zu kommentieren.F 2$[\operatorname{trace}]^2$$F^2$$F$

( ) Abgesehen davon : Ich denke, es könnte irreführend sein, es als "Haar-Maß" zu bezeichnen. Soweit ich weiß, ist der Raum der reinen Zustände normalerweise topologisch , für einen dimensionalen Hilbertraum. Anscheinend ist das Maß, das sie verwenden, von dem Haar-Maß auf durch einen Quotienten geerbt, den ich hier gelesen habe: /physics//a/98869/41998 .C P n n U ( n $\,^*$$\Bbb{CP}^n$$n$$U(n)$