Was passiert, wenn zwei getrennt verschränkte Qubits durch ein C-NOT-Gate geleitet werden?

Angenommen, ich transformiere einen Zustand wie folgt:

1. Ich beginne mit dem Status .$\lvert 0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert0\rangle \otimes \lvert 0 \rangle$
2. Ich verwickle das 1. und 2. Qubit (mit einem H-Gate und C-NOT).
3. Ich verwickle dann das 3. und 4. Qubit auf die gleiche Weise.

Wenn ich versuche, H-Gate und C-NOT auf die Nachwörter des 2. und 3. Qubits anzuwenden, wird sich das gesamte System verwickeln? Was passiert in diesem Fall mit dem 1. und 4. Qubit?

( Cross-posted von Physics.SE )

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>} %$

$$\left(\ket{00}+\ket{11}\right)\otimes\left(\ket{00}+\ket{11}\right)/2$$ $$(\ket{0}(\ket{0}+\ket{1})+\ket{1}(\ket{0}-\ket{1}))\otimes(\ket{00}+\ket{11})/(2\sqrt{2})$$ $$(\ket{0}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})+\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01}))+\ket{1}\otimes(\ket{0}\otimes(\ket{00}+\ket{11})-\ket{1}\otimes(\ket{10}+\ket{01})))/(2\sqrt{2})$$ Ordnen wir dies leicht neu an als Beachten Sie, dass wir den vollständigen Status des gesamten Systems benötigen. Sie können aufgrund der Verschränkung nicht wirklich getrennt über die Zustände der Qubits 1 und 4 sprechen. $$\ket{\Psi}=((\ket{0}-\ket{1})\ket{1}(\ket{10}+\ket{01})+(\ket{0}+\ket{1})\ket{0}(\ket{00}+\ket{11}))/(2\sqrt{2})$$

Die Frage "Ist es noch verwickelt?" Ist direkt "Ja", aber das ist eigentlich eine Trivialität eines viel komplexeren Themas. Es ist in dem Sinne verwickelt, dass es sich nicht um einen Produktzustand handelt .$\ket{\psi_1}\otimes\ket{\psi_2}\otimes\ket{\psi_3}\otimes\ket{\psi_4}$

Ein einfacher Weg, um zu sehen, dass dieser Zustand verwickelt ist, besteht darin, eine Zweiteilung zu wählen, dh eine Aufteilung der Qubits in zwei Parteien. Nehmen wir zum Beispiel Qubit 1 als eine Partei (A) und alle anderen als Partei B. Wenn wir den reduzierten Zustand von Partei A berechnen, müsste ein Produktzustand (entwirrt) einen reinen Zustand ergeben. Wenn der reduzierte Zustand nicht rein ist, dh einen Rang größer als 1 hat, ist der Zustand definitiv verwickelt. In diesem Fall hat beispielsweise Rang 2. Tatsächlich nicht Es spielt keine Rolle, was Sie zwischen Qubits 2 und 3 als

$$\rho_A=\text{Tr}(\ket{\Psi}\bra{\Psi})=\frac{\mathbb{I}}{2},$$ $\rho_A$ist unabhängig von dieser Einheit; es kann die mit Qubit 1 erzeugte Verschränkung nicht entfernen (möglicherweise nur zwischen Qubits 2 und 3 verteilen). Die Tatsache, dass Sie verschiedene Bipartitionen betrachten müssen, um zu sehen, welche Qubits mit welchen verstrickt sind, zeigt bereits einen Teil der Komplexität. Für reine Zustände ist es ausreichend, jede der Bipartitionen von 1 Qubit mit dem Rest zu betrachten. Wenn jede dieser Matrizen mit reduzierter Dichte Rang 1 hat, ist Ihr gesamter Zustand trennbar.

Im Zusammenhang mit Ihrer Frage möchten Sie vielleicht Fragen der "Monogamie der Verschränkung" nachschlagen - je mehr verschränktes Qubit 1 mit Qubit 2 ist, desto weniger verwickelt ist Qubit 1 mit Qubit 3 (zum Beispiel), und das kann in quantifiziert werden verschiedene Möglichkeiten. Ebenso können Sie Fragen zu "Welche Art von Verstrickung gibt es?" Stellen. Ein Ansatz besteht darin, zu untersuchen, welche Arten von Verschränkungen in verschiedene Arten umgewandelt werden können (häufig als "SLOCC-Äquivalenzklassen" bezeichnet). Bei 3 Qubits wird beispielsweise zwischen W-Zustands-Verschränkung, die wie aussieht, und GHZ-Verschränkung, die wie aussieht, unterschieden sowie zweiteilige Verschränkung zwischen verschiedenen Qubit-Paaren und ein trennbarer Zustand auf der anderen Seite.$\ket{001}+\ket{010}+\ket{100}$$\ket{000}+\ket{111}$