Was ist der Unterschied zwischen einem Qudit-System mit d = 4 und einem Zwei-Qudit-System?

Ich verstehe , dass ein qudit ein Quanten ist -state System. Wenn d = 4 , ist dies genau dasselbe wie ein Zwei-Qubit-System, das auch 4 Quantenzustände aufweist? Der Hilbert-Raum ist derselbe, oder? Gibt es theoretische oder praktische Unterschiede?$d$$d=4$$4$

Bei Qubits stützen wir normalerweise alle unsere Operatoren auf die Pauli-Matrizen. Unser grundlegender Gate-Satz besteht aus den Pauli-Matrizen selbst, Clifford-Gattern wie und S , die zwischen Pauli-Matrizen abgebildet werden, gesteuerten Operationen wie der CNOT, die ein Pauli auf einem Qubit abhängig vom Pauli-Eigenzustand eines anderen implementieren, usw.$H$$S$

Für jedes größere dimensionale Quantensystem müssen wir die Grundmenge von Operatoren finden, die die gleiche Rolle spielen.$d$

Ein Ansatz ist die Verallgemeinerung der Pauli-Matrizen. Wir wählen eine Gruppe aus, deren Reihenfolge , und definieren Operatoren, die auf dieser Gruppe basieren. Dies ist meine Kurzanleitung, obwohl sie sich eher auf die Verallgemeinerung von Stabilisatorcodes konzentriert.$d$

Wir könnten uns auch von den Spin-Operatoren inspirieren lassen. Die Pauli-Matrizen beschreiben ein Spin- System. Für höherdimensionale Systeme könnten wir also die Operatoren auf höheren Spin untersuchen. Sie haben jedoch nicht die gleichen netten Eigenschaften. Das scheint also kein populärer Ansatz zu sein.$1/2$

In jedem Fall ist der Hilbert-Raum derselbe und die darauf basierende universelle Qualitätskontrolle das Gleiche. Der einzige Unterschied ist unser grundlegendes Tor-Set. Die Anzahl der für eine bestimmte Aufgabe erforderlichen Gatter kann sich also in Bezug auf Konstanten und Koeffizienten unterscheiden. Und die Mathematik könnte für den einen besser sein als für den anderen. Die Komplexität bleibt jedoch gleich.

Ja , der Hilbert - Raum ist die gleiche, aber Sie haben den Isomorphismus wählen . Das unterschiedliche Setup bedeutet jedoch, dass einige Unitaries, die in einem Setup einfach zu implementieren sind, in dem anderen schwierig sind. Zum Beispiel, wie zwei Qubits Tore etwas wie o z ⊗ 1 wird einfach sein. Aber wenn Sie schreibendass als 44 unitären durch diesen Isomorphismus φ stattdessendass vielleicht nicht so einfach zu implementieren sein. Sie sollten sowohl den Hilbert-Raum als auch die einfachen Operationen sagen, für die Sie Ihr Programm schreiben möchten.$\phi : \; \; (\mathbb{C}^2)^{\otimes 2} \simeq \mathbb{C}^4$$\sigma_z \otimes 1$$\phi$

Ein grundlegender Unterschied zwischen den beiden Arten von Systemen besteht darin, dass ein Zwei-Qubit-System tatsächlich in einem verwickelten Zustand sein kann. Andererseits besitzt ein einzelnes d = 4-dimensionales System keine Verschränkung, da die Verschränkung immer in Bezug auf mehr als eine Partei definiert ist. Folglich sind für die Zwecke von Quantenprotokollen, die die Verschränkung als Ressource nutzen, ein Zwei-Qubit-System und ein einzelnes vierdimensionales Quantensystem sehr unterschiedlich.

Es gibt auch einen Unterschied, wenn Sie Experimente oder Implementierungen in Betracht ziehen. Um ein physikalisches Qubit zu erzeugen, muss ich ein Zwei-Ebenen-Quantensystem verwenden. Qudits erfordern ein komplizierteres Quantensystem, z. B. mit vier Ebenen für ad = 4 qudit. Die technische Rechtfertigung für die Verwendung des komplizierteren Systems wäre, dass Sie weniger der vierstufigen Systeme benötigen.

Der einzige Unterschied zwischen einem " Paar von Qubits " und einem einzigen " vierdimensionalen Qubit " besteht darin, dass Sie implizit einige Annahmen über die Art der Operationen treffen , die Sie darauf ausführen können , wenn Sie sagen, dass Sie " zwei Qubits " haben.

Insbesondere ist es nur dann sinnvoll, von zwei Qubits zu sprechen, wenn sie als zwei verschiedene Systeme behandelt werden können oder mit anderen Worten, wenn es möglich ist, lokal auf sie einzuwirken. In ähnlicher Weise unterscheiden sich die Arten von Operationen, von denen man annehmen kann, dass sie mit zwei Qubits ausgeführt werden können, von denen mit Qubits.

Aus praktischer Sicht besteht der Unterschied darin, dass man verschiedene Operationen eher als "leicht verfügbar" ansieht, wenn man von Qubitsätzen spricht als von (Qubitsätzen).