Sind die Zustände des Qudit-Graphen für Nicht-Prim-Dimensionen gut definiert?

Qudit-Graphenzustände sind dimensionale Verallgemeinerungen von Qubit- Graphenzuständen , so dass jeder Zustand durch einen gewichteten Graphen G (ohne Selbstschleifen) dargestellt wird, so dass jeder Kante ( i , j ) ein Gewicht A i , j = 0 zugewiesen wird. … , D - 1 . Der mit G verknüpfte Graphzustand ist dann gegeben durch | G ⟩ = Π i > j CZ A i , j i , j | $d$$G$$(i, j)$$A_{i, j} = 0,\ldots,d-1$$G$ wobei | + ⟩ = F † | 0 ⟩ und F ist die FourierGate F =

$$|G⟩ = \prod_{i>j} \textrm{CZ}_{i,j}^{A_{i,j}} |+⟩^{\otimes n},$$ $|+⟩ = F^\dagger|0⟩$$F$ $$F = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=0}^{d-1} \omega^{kl}|k⟩⟨l|.$$

In der Literatur zu Qudit-Graph-Zuständen scheint es keine Konsistenz darüber zu geben, ob solche Zustände nur für prime definiert sind oder nicht. Beispielsweise geben einige Quellen nur die obige Definition für d prime an, wie z$d$$d$

• Quantum Secret Sharing mit Qudit-Graph-Zuständen
• Absolut maximal verwickelte Qudit-Graph-Zustände

während einige keine solche Einschränkung spezifizieren, wie z

• Greenberger-Horne-Zeilinger-Paradoxe aus Qudit-Graph-Staaten
• Quantenfehlerkorrekturcodes unter Verwendung von Qudit-Diagrammzuständen

Also was ist richtig? Sind qudit-Diagrammzustände (gut) definiert, wenn die Dimension nicht prim ist?

Wenn ja, sind sie auch eindeutig definiert?

$F$$Z$$Z$$Z$$Z = F XF^\dagger$$X$$Z$$F$als Tensor; Es gibt nichts an den mathematischen Objekten selbst, was in der zusammengesetzten Dimension problematisch wird.

$\mathbb C$$\mathbb R$$\mathbb Q$$p$$\mathbb Z_p$. Aus diesem Grund werden selten irgendwo im Feld Verweise auf Qudits mit zusammengesetzter Dimension angezeigt. Selbst wenn Sie dies tun, wird das Hauptanliegen der mathematischen Bequemlichkeit normalerweise eine andere Einschränkung motivieren.

Die Quanteninformationstheorie verwendet gelegentlich die Zahlentheorie und die reine Mathematik im Allgemeinen, macht aber keinen Fehler: Dieses Feld hat keine großen Überschneidungen mit den Prioritäten der reinen Mathematik. Wenn eine Definition auf eine Weise präsentiert wurde, die seltsamerweise eingeschränkt aussieht, ist es ziemlich wahrscheinlich, dass dadurch ein Ergebnis angezeigt werden kann, das viel schwieriger oder sogar etwas umständlicher wäre, ohne diese Einschränkung zu beweisen - und Es wird als wichtiger angesehen, Beispiele für auffallend klingende Ergebnisse zu veröffentlichen, als einigermaßen vollständige mathematische Theorien zu präsentieren.