Warum sind Quantentore einheitlich und nicht speziell einheitlich?

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Warum werden Quantenschaltungen in Einheiten und nicht in speziellen Einheiten formuliert, da die globalen Phasen von Zuständen physikalisch nicht erkennbar sind? Eine Antwort, die ich bekam, war, dass es nur der Einfachheit halber ist, aber ich bin mir immer noch nicht sicher.

Eine verwandte Frage lautet: Gibt es Unterschiede in der physikalischen Implementierung eines einheitlichen (mathematische Matrix) und , beispielsweise in Bezug auf einige Elementartore? Angenommen, es gibt keine (was mein Verständnis ist). Dann sollte die physikalische Implementierung von und gleich sein (fügen Sie einfach Steuerelemente zu den Elementartoren hinzu). Aber dann komme ich in den Widerspruch, dass und $U$ $V: =e^{i\alpha}U$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$ von diesen beiden Einheiten sind möglicherweise nicht bis zur Phase äquivalent (als mathematische Matrizen), so dass es plausibel erscheint, dass sie unterschiedlichen physikalischen Implementierungen entsprechen.

Was habe ich in meinen Überlegungen hier falsch gemacht, weil es jetzt nahelegt, dass und unterschiedlich implementiert werden müssen, obwohl sie bis zur Phase gleichwertig sind? $U$ $V$

Eine andere verwandte Frage (in der Tat der Ursprung meiner Verwirrung, ich wäre besonders dankbar für eine Antwort auf diese Frage): Es scheint, dass man eine Quantenschaltung verwenden kann, um sowohl den Modul als auch die Phase der komplexen Überlappung abzuschätzen (siehe https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 ). Aber heißt das nicht noch einmal, dass und messbar unterschiedlich sind? $\langle\psi|U|\psi\rangle$ $U$ $e^{i\alpha}U$

quantum-gate unitarity dcw
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Es ist philosophisch genauer, stattdessen projektive Einheitsgruppe

zu sagen . Dies liegt daran, dass die Operation darin besteht, eine beliebige einheitliche Matrix zu nehmen und die Phase gegenüber der Teilmenge zu verlieren, für die diese Phase

. Die Karten gehen

so dass sie sich auf gegenüberliegenden Seiten der Pfeile befinden.

P U

$PU$

1

$1$

S U \to U \to P U

$SU \to U \to PU$

AHusain

@AHusain Welches sind "Die Karten"? In Bezug auf die quotienting, wird es gehen

.

U \to S U \to P U

$U\to SU\to PU$

Norbert Schuch

Nein. SU ist die Teilmenge mit Determinante 1, daher enthält sie mit einer Karte in U. PU ist das Quotientieren. Sie können eine projektive Einheit nehmen und einen Vertreter in SU mit Determinante 1 angeben, dies ist jedoch nicht automatisch.

AHusain

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Selbst wenn Sie sich nur auf Operationen mit besonderen Einheiten beschränken, akkumulieren Staaten immer noch die globale Phase. Zum Beispiel ist eine spezielle Einheit, aber. $Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$ $Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

Welchen Vorteil haben wir, wenn sich Staaten auf spezielle einheitliche Operationen beschränken , wenn Staaten sowieso eine nicht beobachtbare globale Phase ansammeln werden?

Gibt es Unterschiede in der physikalischen Implementierung eines einheitlichen (mathematische Matrix) und , beispielsweise in Bezug auf einige Elementartore? $U$ $V :=e^{i\alpha}U$

Solange Sie nichts tun, was die globalen Phasen relevant machen könnte, können sie dieselbe Implementierung haben. Aber wenn du so etwas machen willst, äh ...

Fügen Sie den Elementartoren Steuerelemente hinzu

Genau so. Wenn Sie solche Dinge tun, können Sie globale Phasen nicht ignorieren. Steuerelemente verwandeln globale Phasen in relative Phasen. Wenn Sie die globale Phase vollständig ignorieren möchten, können Sie keinen Black-Box-Operationsmodifikator "Steuerelement hinzufügen" verwenden.

Craig Gidney
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Vielen Dank, aber für Gates in einem universellen Gate-Set gibt es keinen Modifikator zum Hinzufügen eines Steuerelements, und Sie könnten zuerst

zerlegen

U

$U$ und

in diese Gates , um die Kontrolle hinzuzufügen, z. B. ist c-

das CNOT-Gate.

V

$V$

X

$X$

dcw

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@Daochen Ja, das können Sie tun, aber es ist kein Beispiel für das Hinzufügen eines Steuerelements, während die globale Phase der Unteroperation ignoriert wird. Sie müssen explizit über die globale Phase der Unteroperation entscheiden, wenn Sie entscheiden, was genau die gesamte gesteuerte Operation tun soll und wie sie zerlegt werden soll.

Craig Gidney

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Die Tatsache, dass Quantentore einheitlich sind, beruht auf der Tatsache, dass die Entwicklung (geschlossener) Quantensysteme nach der Schrödiner-Gleichung erfolgt. Für ein Zeitintervall, in dem wir versuchen, eine bestimmte einheitliche Transformation mit konstanter Geschwindigkeit zu realisieren, verwenden wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:

\frac{d}{d t} | ψ (t) ⟩ = \frac{1}{i ℏ} H | ψ (t) ⟩,

$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$

$H$ $H$

| ψ (t) ⟩ = \exp (- i H t / ℏ) | ψ (0) ⟩

$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$

U = \exp (- i H t / ℏ)

$U = \exp(-iHt/\hbar)$

H

$H$

E

$E$

e^{i E t / ℏ}

$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$ . Aus einer Matrix mit reellen Eigenwerten erhalten wir also eine Matrix, deren Eigenwerte komplexe Zahlen mit Einheitsnorm sind.

$1$ $1$ $H$ $H$ Die Summe seiner Eigenwerte ist gleich Null. Dies hängt davon ab, wie Sie sich entschieden haben, Ihren Nullenergiepunkt festzulegen - was praktisch eine subjektive Wahl des Referenzrahmens ist. (Wenn Sie sich insbesondere für die Konvention entscheiden, dass alle Ihre Energieniveaus nicht negativ sind, bedeutet dies, dass kein interessantes System jemals die Eigenschaft haben wird, dass die Energieeigenwerte auf Null summiert werden.)

Kurz gesagt, Gates sind eher einheitlich als speziell einheitlich, da die Determinante eines Gates nicht physikalisch bedeutsamen Eigenschaften entspricht - in dem expliziten Sinne, dass das Gate aus der Physik stammt und die Bedingungen, die der Determinante des Gates entsprechen, 1 sind ist eine Bedingung des eigenen Referenzrahmens und nicht der physikalischen Dynamik.

Niel de Beaudrap
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Wenn Sie beispielsweise Gates für ein Quantenschaltbild schreiben , können Sie sie immer mit der Konvention schreiben, eine Determinante (aus der speziellen einheitlichen Gruppe) zu haben, aber es ist nur eine Konvention. Es macht keinen physischen Unterschied zu der Schaltung, die Sie implementieren. Wie an anderer Stelle gesagt , ist es wirklich eine Wahl der Konvention, wo das, was Sie auf natürliche Weise produzieren, direkt der speziellen Einheit entspricht, und wo Sie Ihre 0-Energie definieren.

$U$ $V=e^{i\alpha}$ $V$ $U$ $U$ $\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$ $U$ $\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

DaftWullie
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$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$ $H$

user1271772
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Warum sind Quantentore einheitlich und nicht speziell einheitlich?

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