Bedeutung von Clifford-Operationen aus der Perspektive der Quantenfehlerkorrektur

In der Literatur zu QECC nehmen Clifford-Tore einen erhöhten Status ein.

Betrachten Sie die folgenden Beispiele, die dies bestätigen:

• Wenn Sie Stabilisatorcodes studieren, lernen Sie separat, wie codierte Clifford-Gates ausgeführt werden (auch wenn diese nicht transversal anwendbar sind). Alle Einführungsmaterialien zu QECC konzentrieren sich auf die Durchführung codierter Clifford-Operationen mit Quantencodes. Betonen Sie auch ansonsten die Clifford-Gates (dh auch dann, wenn keine codierten Clifford-Gates in Quantencodes ausgeführt werden).

• Das gesamte Thema der Destillation im magischen Zustand * basiert auf der Klassifizierung bestimmter Vorgänge (einschließlich der Leistung von Clifford-Gates) als kostengünstige Vorgänge, während beispielsweise das Toffoli-Gate oder das -Gate als ausgeführt werden teurere Operationen.$\pi/8$

Mögliche Antworten:

1. Dies wurde an bestimmten Stellen in der Literatur gerechtfertigt, z. B. in Gottesmans Dissertation und vielen Veröffentlichungen von ihm sowie in https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403025 . Der an diesen Stellen angegebene Grund ist, dass es möglich ist, einige Clifford-Gates transversal (eine prototypische fehlertolerante Operation) an bestimmten Stabilisatorcodes durchzuführen. Andererseits ist es nicht einfach, eine transversale Anwendung von Nicht-Clifford-Gates auf Quantencodes zu finden. Ich habe dies selbst nicht überprüft, sondern gehe nur auf Aussagen ein, die Gottesman in seiner Doktorarbeit macht. Dissertation und einige Übersichtsartikel.

Wenn ein codiertes Gate nicht transversal an einem Quantencode ausgeführt werden kann, erhöhen sich sofort die Kosten für die Ausführung des Gates an dem Code. Und daher fällt das Durchführen von Clifford-Toren in die Kategorie der niedrigen Kosten, während Nicht-Clifford-Tore in die Kategorie der hohen Kosten fallen.

2. Aus technischer Sicht ist es aus mehreren Gründen wichtig, eine standardisierte Liste von Grundeinheiten der Quantenberechnung (Zustandsvorbereitung, Gates, Mess-Observable / Basis) usw. festzulegen. Die Durchführung von Clifford-Gates ist aus mehreren Gründen eine bequeme Wahl auf dieser Liste (Die bekanntesten Sätze universeller Quantengatter enthalten viele Clifford-Gatter, den Gottesman-Knill-Satz ** usw.).

Dies sind die einzigen zwei Gründe, warum die Clifford-Gruppe in der QECC-Studie einen so hohen Status hat (insbesondere, wenn Sie Stabilisatorcodes studieren). Beide Gründe ergeben sich aus technischer Sicht.

Die Frage ist also, ob man andere Gründe identifizieren kann, die nicht aus technischer Sicht stammen. Gibt es eine andere wichtige Rolle, die die Clifford-Tore spielen, die ich verpasst habe?

Möglicher anderer Grund: Ich weiß, dass die Clifford-Gruppe der Normalisierer der Pauli-Gruppe in der Unitary-Gruppe ist (auf Qubit-Systemen). Außerdem, dass es eine semidirekte Produktstruktur hat (tatsächlich eine projektive Darstellung der semidirekten Produktgruppe). Gibt diese Beziehung / Eigenschaft für sich genommen einen weiteren Grund an, warum man die Clifford-Gruppe in Verbindung mit Stabilisator-Codes untersuchen sollte?$n$

* Fühlen Sie sich frei, dies zu korrigieren. ** Welche Zustände, die auf bestimmte Operationen beschränkt sind, Sie können den Quantenvorteil nicht erhalten, und daher benötigen Sie ein wenig mehr als die Menge von Operationen, auf die Sie sich ursprünglich beschränkt haben.

Clifford-Operationen sind in Stabilisatorcodes häufig leicht fehlertolerant, entweder quer oder durch Codeverformung. Der Grund ist genau so, wie Sie gedacht haben: die besondere Beziehung zwischen diesen Toren und den Paulis, da letztere zur Definition von Stabilisatorcodes verwendet werden.

Es ist möglich, Nicht-Clifford-Tore in Codes zu erhalten, aber es muss ein Preis bezahlt werden. Insbesondere besteht eine Beziehung zwischen der geometrischen Lokalität von Codes und den Gates, die sie quer ausführen können. Wenn Sie also nur benachbarte gesteuerte Tore auf einem 2D-Gitter (z. B. einer Oberfläche oder einem Farbcode) ausführen dürfen, sind nur Cliffords möglich. Weitere Informationen hierzu finden Sie in Papieren wie diesem.

Die Tatsache, dass wir von Stabilisatorcodes fehlertolerante Cliffords erwarten können, wurde später in den Mittelpunkt der Techniken zur Synthese universeller Gatesätze gestellt. Wenn es also eine Möglichkeit gibt, einen nicht stabilisatorcodierten Zustand nicht fehlertolerant zu erstellen, wissen wir, wie wir ihn mit unseren logischen Cliffords bereinigen können. Um diese Zustände in Rotationen umzuwandeln, verwenden wir unsere logischen Cliffords. Wenn Sie also einen Code haben und all diese Standardergebnisse anwenden möchten, sollten Sie Ihre fehlertoleranten Cliffords finden. Oder zumindest die Paulis, H und eine CZ oder CNOT, wenn Sie nicht alle verwalten können.