Wie viele Bits müssen Alice und Bob vergleichen, um sicherzustellen, dass der Kanal in BB84 sicher ist?

Ich habe versucht, qmc selbst zu studieren, indem ich das Buch Quantum Computing A Gentle Introduction gelesen habe. In Abschnitt 2.4 geht es um das Quantenschlüssel-Verteilungsprotokoll BB84. Nachdem ich es verstanden hatte, dachte ich an Übung 2.9 und 2.10.

Ex. 2.9 fragt, wie viele Bits Alice und Bob vergleichen müssen, um zu 90% sicher zu sein, dass in BB84 keine Eva vorhanden ist. Wenn ich es richtig verstanden habe, lautet BB84 wie folgt:

1. Alice wählt zufällig eine Basis / Polarisation des Photons aus den beiden Basen und , um die Bitinformationen oder zu codieren (die Codierungsregel ist bekannt, z. B. für ). Dann sendet sie eine Sequenz solcher Photonen an Bob.$\{ | 0 \rangle, | 1 \rangle \}$$\{ |+\rangle, |-\rangle \}$$0$$1$$|0\rangle$$0$
2. Bob empfängt die Folge von Photonen und wählt zufällig eine Basis aus den beiden gleichen Basen und Maßen für jedes einzelne Photon aus.
3. Sie vergleichen dann die Basen, die sie ausgewählt haben, und verwerfen diejenigen, bei denen sie die Basis unterschiedlich ausgewählt haben. Bob sollte in der Lage sein herauszufinden, was Alice zu senden versucht. (zB wenn die Basis, die sie verwenden, und Bob mit der Basis gemessen hat, aber Lichtintensität hat, dann weiß er, dass Alices Polarisation also die Bitinformation ist ).$\{ |0\rangle, |1\rangle \}$$|1\rangle$$0$$|0\rangle$$0$
4. Um sicherer zu sein, vergleichen sie auch eine Teilmenge von Bits. Wenn keine Interferenz vorliegt, sollten alle ihre Bits übereinstimmen. Sie verwerfen diese Bits und was übrig bleibt, ist der Schlüssel.

Eve hingegen versucht, das Photon von Alice abzufangen, misst es auch zufällig von den beiden Basen aus und sendet dann die Basis, die sie für die Messung verwendet, an Bob. Nachdem Alice & Bob ihre Basen öffentlich verglichen haben, kann Eve sicher des Schlüssels kennen, obwohl sie unweigerlich das Photon geändert hat, das Bob erhalten hätte.$25%$

Also, um die erste Frage zu beantworten, z. 2.9, ich habe verschiedene Szenarien aufgelistet, in denen Alice und Bob eine Teilmenge von Bits vergleichen:

Angenommen, Alice sendet ein .$|0\rangle$

1. Es gibt eine Wahrscheinlichkeit von Eva auch mit misst , dann würde sie nicht erkannt werden.$0.25$$|0\rangle$

2. $0.25$ - Eve misst mit dann wird sie sicher erkannt, da Bob den entgegengesetzten Bitwert wie Alice erhält.$|1\rangle$

3. $0.25$ Chance Eve misst mit , Bob erhält jetzt . Wenn Bob und dasselbe mit Chance erhält , andernfalls, wenn er zum Messen verwendet, aber am Ende immer noch mit das richtige Bit mit einer Chance von . Das ist das$|+\rangle$$|+\rangle$$|0\rangle$$0.5$$|1\rangle$$0.5$$0.25 \times (0.5 + 0.5) = 0.25$

4. Gleich wie 3, 0,25

Um die Wahrscheinlichkeit zusammenzufassen, dass Eve unentdeckt bleibt, ist es , und wir möchten, dass die Folge von Bits, die Eve unentdeckt bleibt, weniger als beträgt, was ergibt , ungefähr .$0.25 + 0 + 0.25 + 0.25 = 3/4$$10%$$(\frac{3}{4})^n < 0.1$$n=8$

Die zweite Frage 2.10c ändert die Bedingung ein wenig, anstatt dass Eve aus den beiden bekannten Basen (dem Standard und dem ) auswählt, weiß sie nicht, welche sie wählen soll, also wählt sie zufällig aus, wie viele Bits A & B benötigt zu vergleichen, um 90% Vertrauen zu haben?$+/-$

Mein Ansatz ist, dass Alice immer noch die Standardbasis und einen sendet . Jetzt kann Eva es in ihrer Basis messen, wobei und , dann sendet Eve die Basis, die sie verwendet, erneut an Bob. Ich liste wieder die Szenarien auf,$\{|0\rangle |1\rangle \}$$|0\rangle$$\{ |e_1\rangle, |e_2\rangle \}$$|e_1\rangle = \cos\theta|0\rangle + \sin\theta|1\rangle$$|e_2\rangle = \sin\theta|0\rangle-\cos\theta|1\rangle$

1. Wenn Eve mit misst (mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5), erhält Bob . Wenn Bob mit misst, erhält er das richtige Bit mit Wahrscheinlichkeit, wenn er misst dann bekommt er das richtige Bit mit . Ähnlich, wenn Eve$|e_1\rangle$$|e_1\rangle$$|0\rangle$$|\cos\theta|^2$$|1\rangle$$1 - |\sin\theta|^2=|\cos\theta|^2$$|e_2\rangle$

Fassen Sie zusammen, dann habe ich , das ist sicher nicht korrekt!$0.5\times(2|\cos\theta|^2)+0.5\times(2|\sin\theta|^2)=1$

Dann habe ich versucht, online zu suchen und hier eine Lösung gefunden , bei der die Wahrscheinlichkeit, dass Bob das richtige Bit erhält, stattdessen lautet: , dann über (normalisiert durch ) ist ist wieder dasselbe wie in ex2.9.$|\langle0|e_1\rangle\langle e_1|0\rangle|^2 + |\langle0|e_2\rangle\langle e_2|0\rangle|^2 =\cos^4\theta+\sin^4\theta$$[0, \frac{\pi}{2}]$$\pi/2$$\frac{3}{4}$

Kann jemand erklären, warum es sowohl in mathematischen Details als auch in der Intuition auf hoher Ebene (z. B. warum selbst Eve nicht weiß, für welche Basis es noch einen 8-Bit-Vergleich für A & B benötigt?)?$\cos^4\theta+\sin^4\theta$

Vielen Dank!

Ihre Analyse von Evas Betrug scheint nicht ganz richtig zu sein (obwohl die endgültige Antwort richtig ist). Was Sie sagen müssen, ist: Angenommen, Alice bereitet einen bestimmten Zustand in einer der Basen vor. Sie könnten annehmen, dass dies , aber Sie können das Argument allgemeiner formulieren.$|0\rangle$

• Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% misst Eve auf derselben Basis, die Alice vorbereitet hat (in diesem Fall die 0/1-Basis). Eve wird garantiert die gleiche Antwort (0) erhalten, und so wird Bob immer noch die gleiche Antwort (0) erhalten, da wir speziell in den Fällen arbeiten, in denen Bob auf der gleichen Basis wie Alice misst. Eva wird nicht erkannt.

• Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% misst Eve auf der anderen Basis. Sie wird eine Antwort bekommen. Es spielt eigentlich keine Rolle, was es ist (in diesem Fall entweder oder ). Bob erhält, was auch immer dieser Zustand ist, und misst auf der ursprünglichen Basis und erhält die beiden unterschiedlichen Ergebnisse mit einer Wahrscheinlichkeit von 50:50. Eva erfährt nie etwas über Alices ausgewähltes Stück und sie wird die halbe Zeit entdeckt.| - $|+\rangle$$|-\rangle$

Insgesamt lernt Eve die Hälfte der Zeit den Bitwert und wird in 1/4 der Fälle erkannt. Nun sollten Sie streng genommen über alle möglichen Eingaben von Alice mitteln. In diesem einfachen Fall besteht jedoch eine ausreichende Symmetrie, sodass alle Ergebnisse gleich sind.

In der zweiten Frage haben Sie eine wichtige Funktion übersehen: Wenn Eve ihre Messbasis ändert, variiert die Wahrscheinlichkeit, dass sie die unterschiedlichen Ergebnisse erhält (Sie haben sie auf 1/2 festgelegt).

Handwinken auf hoher Ebene: Wenn Eve eine Basis wählt, die sehr nahe an der 0/1-Basis liegt, erhält sie fast garantiert die gleiche Antwort wie der Bitwert, den Alice gesendet hat (wenn sie die 0/1-Basis gesendet hat). und es ist fast garantiert, dass sie nicht entdeckt wird. Wenn Sie sich weiter von dieser Basis entfernen, lernt Eve weniger und wird mit größerer Wahrscheinlichkeit erkannt. Der Nachteil ist jedoch, dass, wenn Alice die andere Basis verwendet hätte, ihre Chance, entdeckt zu werden, abnimmt und sich ihr Wissen über das Bit verbessert. Das heißt, es ist kein perfekter Kompromiss. Ich zeige Ihnen ganz einfach, warum: Stellen Sie sich vor, Alice verwendet die beiden Standardbasen. Was ist, wenn Eva jedes Mal in der Basis misst ? Es ist immer so$(|0\rangle\pm i|1\rangle)/\sqrt{2}$der Fall (egal welche Basis Alice wählt), dass es eine 50% ige Chance gibt, dass Eva entdeckt wird.

Mathematisch sollten Sie sich vorstellen, dass Alice gesendet hat . Somit erhält Eve mit der Wahrscheinlichkeit Antwort , die an Bob weitergeleitet wird, der die Antwort mit der Wahrscheinlichkeit erhält . Währenddessen erhält Eve mit der Wahrscheinlichkeit Antwort , sendet sie an Bob weiter und er erhält die Antwort mit der Wahrscheinlichkeit . Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass Bob nichts entdeckt, vorausgesetzt, Alice hat gesendetcos 2 & thgr; | e 1 ⟩ | 0 ⟩ cos 2 θ sin 2 θ | e 2 ⟩ | 0 ≤ sin 2 & thgr ; cos 4 & thgr ; + sin 4 & thgr ; = 1 - $|0\rangle=\cos\theta|e_1\rangle+\sin\theta|e_2\rangle$$\cos^2\theta$$|e_1\rangle$$|0\rangle$$\cos^2\theta$$\sin^2\theta$$|e_2\rangle$$|0\rangle$$\sin^2\theta$| 0⟩| 1⟩| +⟩| e1⟩| e2⟩| +⟩=((Cosθ+sinθ)|e1⟩-(cosθ-sinθ)|e2⟩)/

$$\cos^4\theta+\sin^4\theta=1-\frac12\sin^2(2\theta),$$ $|0\rangle$ . Die Analyse ist identisch, wenn Alice gesendet hat . Sie müssen die Analyse jedoch wiederholen, wenn Alice gesendet hat . (In diesem Moment sollte sich herausstellen, dass Sie in Ihrer Definition von und benötigen, wenn Sie wirklich über alle möglichen Basen mitteln möchten, aber ich werde mit Ihrer Definition fortfahren.) Nehmen wir also an, Alice hat . Also bekommt Eva die Antwort mit der Wahrscheinlichkeit und Bob bekommt die Antwort mit der Wahrscheinlichkeit$|1\rangle$$|+\rangle$$|e_1\rangle$$|e_2\rangle$ | e1⟩(cosθ+sinθ)2/2| +⟩(Cosθ+sinθ)2/$|+\rangle=((\cos\theta+\sin\theta)|e_1\rangle-(\cos\theta-\sin\theta)|e_2\rangle)/\sqrt{2}$$|e_1\rangle$$(\cos\theta+\sin\theta)^2/2$$|+\rangle$$(\cos\theta+\sin\theta)^2/2$ . Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit, dass Eva nicht erkannt wird, also Durch Mittelung aller möglichen Eingaben von Alice erhalten wir daher Zu diesem Zeitpunkt ist das verschwunden. Wir müssen nicht über alle möglichen . Beachten Sie jedoch, dass, wenn wir eine Phase in der Definition von korrekt eingeführt hätten $$\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^4+\left(\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^4=1-\frac12\cos^2(2\theta).$$ $$\frac12\left(1-\frac12\cos^2(2\theta)\right)+ \frac12\left(1-\frac12\sin^2(2\theta)\right)=\frac34.$$ $\theta$$\theta$$\phi$$|e_1\rangle$Es wäre notwendig, eine Mittelung durchzuführen. Darüber hinaus führt die von Ihnen angegebene Lösung diese Mittelung nicht korrekt aus. Denken Sie daran, dass Sie eine Konvertierung benötigen , wenn Sie von einem Integral in -Koordinaten in ein Integral in -Koordinaten konvertieren möchten . Sie müssen ein Integral ausführen, das so etwas wie wobei die Wahrscheinlichkeit ist, Eva für ein gegebenes erfassen . (Sie möchten diese Formel wahrscheinlich sorgfältig prüfen und die Faktoren 2 überprüfen, da ich dies aus dem Speicher geschrieben habe. Es wird etwas chaotisch, weil Sie einen Winkel$(x,y)$$(r,\theta)$ $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)d\theta f(\theta,\phi),$$ $f(\theta,\phi)$$\theta,\phi$$\theta$in der Definition von bedeutet dies einen Winkel von auf der Bloch-Kugel.)$|e_1\rangle$$2\theta$

Die andere Sache, die wir nicht berechnet haben, wie viel Eva lernt. Wenn sie mit dem Bitwert 0 und mit dem Bitwert 1 entspricht, ist sie mit der Wahrscheinlichkeit korrekt Sie könnten dies über , aber eines der interessanten Dinge, die zu beobachten sind, ist, dass Eva, wenn sie weiß, dass zwei Basen verwendet werden, ihren Wert von optimieren kann . Der Wert gibt ihr (im Durchschnitt) mehr Wissen über die Einstellung oder (was effektiv die Fälle sind, die Sie in der ersten Frage analysiert haben.$|e_1\rangle$$|e_2\rangle$

$$\frac12\left(\cos^2\theta+\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$$ $\theta$$\theta$$\theta=\frac{\pi}{8}$$\theta=0$$\pi/4$