Implementierung der Jacobi-Davidson-Methode für das kubische Eigenwertproblem

Ich habe ein großes kubisches Eigenwertproblem:

$$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$$

Ich könnte dies lösen, indem ich in ein lineares Eigenwertproblem konvertiere, aber es würde zu einem System so groß ist:$3^2$

$$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$$

Dabei ist und . Welche anderen Techniken stehen zur Lösung eines kubischen Eigenwertproblems zur Verfügung? Ich habe gehört, dass es eine Version von Jacobi-Davidson gibt, die das Problem lösen wird, aber keine Implementierung gefunden hat.$\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$$\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$

Außerdem muss ich in der Lage sein, bestimmte Eigenwerte ähnlich der Shift-and-Invert-Methode von ARPACK anzuvisieren und die zugehörigen Eigenvektoren zu finden.

Mit dem umgekehrten Kommunikationsprotokoll von ARPACK müssen Sie die Matrix nicht explizit speichern : Sie müssen nur zwei Funktionen bereitstellen, die berechnen:$3n \times 3n$

und [ x y z ] → [ A 1 x + A 2 y + A 3 z y z$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

$3\times n$

$x \mapsto M^{-1} x$$x \mapsto M x$$\lambda's$$\lambda^{-1}$$M^{-1}x$$M$$A_0$