Erste Vermutungen für gestörte lineare Systeme

Angenommen, Sie lösen ein lineares System durch eine iterative Methode, z. B. konjugierte Gradienten oder Richardson-Iteration. Dann versuchen Sie, ein lineares System zu lösen, das in der Matrix und auf der rechten Seite leicht gestört ist, z. B. .˜ A ˜ u = ˜ $Au = f$$\tilde A \tilde u = \tilde f$

Ist es sinnvoll, die alte Lösung als Startwert für die iterative Methode zu verwenden? "Sinnvoll" bedeutet, dass die Laufzeit der iterativen Methode zuverlässig verbessert wird. Ich frage mich, ob dies zu einer allgemeinen Verbesserung führt, so dass dies als empfohlene Praxis angesehen werden kann.$\tilde u_0 = u$

Eine Anwendung, an die ich denke, stammt aus adaptiven finiten Elementen. Wenn wir eine Lösung auf einem groben Gitter berechnet haben und eine Lösung auf einem feineren Gitter finden möchten (das möglicherweise durch eine adaptive Methode erzeugt wurde), kann der Startwert für jeden iterativen Algorithmus die Verlängerung von sein auf das feinere Gitter. In ähnlicher Weise könnte die Newton-Methode oder Picard-Iteration, die an der Lösung nichtlinearer Probleme beteiligt ist, auf diese Weise "verstärkt" werden, wenn dies überhaupt Sinn macht.˜ u$u$$\tilde u$$u$

Wir haben dies mit adaptiven finiten Elementen ausprobiert, bei denen wir die vorherige Lösung durch Interpolation auf das neue Netz übertragen. Es stellt sich heraus, dass das Beginnen mit diesem Vektor keinen merklichen Einfluss auf die Anzahl der CG-Iterationen hat. Mit anderen Worten, für die CG-Iteration ist eine gute anfängliche Vermutung meistens nutzlos.

Natürlich ist die Situation bei nichtlinearen Methoden (wie der Newtonschen Methode) völlig anders, bei denen es sich absolut lohnt, die letzte Iteration auf dem groben Netz als Ausgangspunkt für das feine Netz zu verwenden. In der Praxis führt man häufig 5-10 Iterationen auf dem gröbsten Netz durch, benötigt dann aber nur 1-2 Iterationen auf jedem nacheinander verfeinerten Netz.

Ich denke, es hängt wirklich von der Bedingungsnummer der Matrix A ab. Wenn sie eine große Bedingungsnummer hat, kann eine geringfügige Störung des Systems zu einer radikal anderen Lösung führen. Für Adaptive FEM hängt es davon ab, wie Sie das Verhalten des Systems (und natürlich die Qualität des Netzes selbst) erwarten. Wenn Sie einen ziemlich reibungslosen Übergang vom groben zum feinen Gitter erwarten, sollten wir erwarten, dass das gestörte System eine Lösung hat, die dem ungestörten System ziemlich nahe kommt. Wenn Sie plötzliche dramatische Veränderungen erwarten können, gibt es keine wirkliche Garantie für die Nähe der gestörten und ungestörten Systeme.