Gibt es eine Verallgemeinerung des Sylvester-Trägheitsgesetzes für das symmetrische verallgemeinerte Eigenwertproblem?

Ich weiß, dass wir zur Lösung des symmetrischen Eigenwertproblems das Sylvester-Trägheitsgesetz verwenden können, dh die Anzahl der Eigenwerte von kleiner als entspricht der Anzahl der negativen Einträge von wobei die Diagonalmatrix von der stammt LDL - Faktorisierung von . Dann können wir durch die Halbierungsmethode alle oder einige Eigenwerte nach Wunsch finden. Ich möchte wissen, ob es eine Verallgemeinerung des Sylvester-Trägheitsgesetzes für symmetrische verallgemeinerte Eigenwertprobleme gibt, nämlich die Lösung von $Ax = \lambda x$ $A$ $a$ $D$ $D$ $A-aI = LDL^{T}$ , wobei und symmetrische Matrizen sind. Vielen Dank. $Ax= \lambda Bx$ $A$ $B$

linear-algebra eigensystem Willowbrook
quelle

Antworten:

Ja, wenn der Bleistift eindeutig ist, dh wenn und hermitisch sind und eindeutig positiv ist. Dann wird die Signatur von hat die gleiche Auslegung für das Eigenwertproblem , wie im Fall . Ein allgemeineres Ergebnis dieser Art gilt für jedes bestimmte nichtlineare Eigenwertproblem . Siehe Abschnitt 5.3 meines Buches $A$ $B$ $B$ $A-\sigma B$ $(A-\lambda B)x=0$ $B=I$ $A(\lambda)x=0$

Arnold Neumaier, Einführung in die numerische Analyse, Cambridge Univ. Press, Cambridge 2001.

Für kann der Beweis meiner Behauptung aus dem Argument von Jack Poulson abgeleitet werden, dass und kongruent sind und daher die gleiche Trägheit haben. $(A-\lambda B)x=0$ $C-\sigma I$ $A-\sigma B$

Insbesondere kann man die Trägheit von direkt berechnen und benötigt keine Cholesky-Faktorisierung von , um zu bilden . Wenn schlecht konditioniert ist, verschlechtert die numerische Bildung von die Qualität des Trägheitstests. $A-\sigma B$ $B$ $C$ $B$ $C$

Arnold Neumaier
quelle

Guter Punkt über die schlechte Konditionierung von B; Ich denke, dass Ihr Ansatz besser ist, wenn man wirklich nur daran interessiert ist, die Trägheit zu berechnen. Der von mir vorgeschlagene Ansatz ist typisch für die tatsächliche Lösung des Eigenwertproblems (in dem Fall, in dem

gut konditioniert ist).

B

$B$

Jack Poulson

@JackPoulson: Der Trägheitstest wird normalerweise angewendet, um die Eigenwerte in einem bestimmten Intervall zu erhalten, wenn

und

spärlich sind und ihr gemeinsames Sparsity-Muster nicht zu viel Füllung erzeugt. Ihr

ist jedoch bereits dicht, wenn

tridiagonal ist, und verwendet es daher ist niemals geeignet, um die Eigenwerte eines großen, spärlich verallgemeinerten Eigenwertproblems zu finden. (Wenn das Problem nicht groß ist, macht es wenig Sinn, Trägheit zu verwenden, da das Finden aller Eigenwerte normalerweise schnell genug ist.)

A

$A$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

Arnold Neumaier

Bestimmt; es scheint, dass ich fälschlicherweise das Wort "dicht" aus meinem Kommentar herausgelassen habe.

Jack Poulson

$B$ $B$ $B = L L^H$

A x = L L^{H} x λ,

$Ax=LL^H x \lambda,$

und diese Gleichung kann manipuliert werden, um dies zu zeigen

(L^{- 1} A L^{- H}) (L^{H} x) = (L^{H} x) λ,

$(L^{-1} A L^{-H})(L^H x) = (L^H x) \lambda,$

$C \equiv L^{-1} A L^{-H}$ $A$ $(A,B)$ $C$ $C$ $(A,B)$

$S \cdot S^H$ $C$ $A$ $L^{-1} \cdot L^{-H}$ $C$ $A$ $C-\sigma I$ $\sigma$ $A$

Jack Poulson
quelle

Eine Ablehnung ohne konstruktive Kritik?

Jack Poulson

Ich habe mich nicht am Computer meines Büros abgemeldet, und mein Amtskollege ist zufällig auf diese Registerkarte in meinem Browser gestoßen und hat die Antwort abgelehnt. Ich entschuldige mich für das Missverständnis und werde ihn fragen, warum er dies abgelehnt hat.

Shuhao Cao

B

$B$

(A, B)

$(A,B)$

A

$A$

B

$B$

@ Jon: Seufz. Dafür ist die Abstimmung nicht gedacht.

Jack Poulson

Ich kenne! Ich sagte ihm bereits "Bitte lies die Regel", nachdem ich festgestellt hatte, dass er mein Konto verwendet hatte, um eine relevante Antwort abzustimmen!

Shuhao Cao