Eigenraumbasis kontinuierlich abhängig von Parametern

Ich habe eine hermitische Matrix die von zwei Parametern abhängt, z. B. x und y . Wenn ich es an zwei engen Punkten ( x 1 , y 1 ) und ( x 2 , y 2 ) diagonalisiere, erhalte ich zwei enge Eigenwerte ( ε 1 und ε 2 ) und zwei entsprechende Eigenräume ( S 1 und S 2 ) derselben Dimension .$\mathbf{H}$$x$$y$$(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)$$\varepsilon_1$$\varepsilon_2$$S_1$$S_2$

Beachten Sie, dass es sich nicht um Eigenwerte derselben Matrix handelt. Es gibt zwei verschiedene Matrizen: und H 2 = H ( x 2 , y 2 ) .$\mathbf{H}_1=\mathbf{H}(x_1,y_1)$$\mathbf{H}_2=\mathbf{H}(x_2,y_2)$

Ich habe ein Netz von Punkten und möchte den Eigenwert und den Eigenraum an jedem Punkt durch Interpolation finden. Das Problem ist, dass die Basen von S 1 und S 2 völlig unabhängig sind , da die Matrizen numerisch diagonalisiert sind. Selbst wenn ( x 1 , y 1 ) und ( x 2 , y 2 ) sehr nahe beieinander liegen, können die Basisvektoren sehr unterschiedliche Komponenten haben.$(x_i,y_i)$$S_1$$S_2$$(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)$

Für die Interpolation benötige ich eine Basis, die kontinuierlich von und y abhängt , dh je näher die Eigenräume S 1 und S 2 sind, desto näher sollten die Basisvektoren sein.$x$$y$$S_1$$S_2$

Wenn und S 2 Ebenen im dreidimensionalen euklidischen Raum sind, besteht eine gute Möglichkeit, eine Basis in S2 auszuwählen, darin, die Basis von S1 um die Linie zu drehen, die den Schnittpunkt der Ebenen darstellt. Gibt es etwas Analoges dazu im komplexen mehrdimensionalen Raum?$S_1$$S_2$

$t$

Damit Sie kontinuierliche Eigenräume haben können, müssen Sie davon ausgehen, dass sich die zugehörigen Eigenwerte nicht annähernd kreuzen. (Bei nahezu sich kreuzenden Eigenwerten kann es sehr gut vorkommen, dass die Eigenräume im Wesentlichen ausgetauscht werden, obwohl sich die Eigenwertkurven nicht berühren. Dies tritt regelmäßig bei symmetrischen parametrischen Eigenwertproblemen auf und wird als Phänomen vermiedener Kreuzungen bezeichnet.)

$H(t)$$\lambda(t)$$Q_k$$t=t_k$$Q(t)=Q_0+\sum_j \Phi_j(t) Z_j$$\Phi_j(t)$$Q_0$$Q_k$$Z_j$$Y_k$$Q_k Y_k - \sum_j \Phi_j(t_k) Z_j \approx Q_0$

Ersetzen Sie mit 2 Parametern die B-Splines durch FEM-Formfunktionen. Ihr Problem der kleinsten Quadrate könnte jetzt groß werden, und es sind geeignete zusätzliche Tricks erforderlich, um das Problem lösbar zu machen, wenn die direkte Lösung nicht durchführbar ist.