Schnelle Berechnung der komponentenweisen

Ich habe folgende Frage:

Angenommen, ich habe zwei Matrizen $X, Y$ der Größe $m\times p$ und eine zufällige iid-Gauß-Matrix $G$ der Größe $m \times k$ , $m\gg p>k$ .

Gibt es eine schnelle Möglichkeit, zu berechnen $\exp(-XY^T)G$? Vielleicht durch die Tatsache, dass sowohl $X$ als auch $Y$ viel kleiner als $XY^T$ ? Hier bedeutet $\exp(\cdot)$ eintragsbezogener Exponent (dh $\textbf{each}$ Eintrags der Matrix). Ohne den Exponenten ist es natürlich einfach und kann einfach mit $X(Y^TG)$ , aber das Problem ist, dass der elementweise Exponent keinen niedrigen Rang mehr hat.

Die Motivation für die Frage ist das Multiplizieren eines Kernels der Form

$D_{ij}=\exp(-d_{ij})$ oder$D_{ij}=\exp(-d_{ij}^2)$

$d_{ij}=\Vert x_i-y_j \Vert$$x_i, y_i \in \mathbb{R}^p$

Eine ungefähre Lösung ist ebenfalls in Ordnung.

Wenn Annäherungen ausreichen, könnten wir vielleicht damit beginnen, den Operator wie folgt zu entwickeln: Beachten Sie, dass die Potenzbegriffe Ihrer elementweisen Notation und folgen beziehen sich auf die Hadamard-Mächte und missbrauchen leicht die Standardkonventionen.$\exp$

$$\exp(Z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{Z^k}{k!} = 1+Z+\frac{Z^2}{2} + \frac{Z^3}{6} + \frac{Z^4}{24} + ...$$

Dies gibt Möglichkeiten zum Umschreiben des Ausdrucks: wo eine entsprechend große Identitätsmatrix . Wenn man mit Näherungen erster Ordnung leben könnte, dann: was zu einer einfacheren Operation führt. Für Annäherungen höherer Ordnung möchten Sie die Lösung für die Hadamard-Leistung ausarbeiten, die wahrscheinlich etwas schwieriger ist, oder ich habe noch keine sofortige Lösung gesehen.

$$\begin{align} \exp{(-XY^T)}G &= \Big(I-XY^T+\frac{(XY^T)^2}{2} - \frac{(XY^T)^3}{6} + \frac{(XY^T)^4}{24} - ...\Big)G \\ &=G-XY^TG+\frac{(XY^T)^2G}{2} - \frac{(XY^T)^3G}{6} + \frac{(XY^T)^4G}{24} - ... \end{align}$$ $I$ $$\begin{align} \exp{(-XY^T)}G &= G-XY^TG+ O(max(|XY^T|)^2)\\ &\approx G-XY^TG = G-X(Y^TG) \end{align}$$