Druck als Lagrange-Multiplikator

In den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen Der Druckbegriff wird oft als Lagrange-Multiplikator bezeichnet, der die Inkompressibilitätsbedingung.

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$

Inwiefern ist das wahr? Gibt es eine Formulierung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen als Optimierungsproblem, das der Inkompressibilitätsbeschränkung unterliegt? Wenn ja, gibt es ein numerisches Analogon, in dem die Gleichungen des inkompressiblen Flüssigkeitsflusses innerhalb eines Optimierungsrahmens gelöst werden?

optimization fluid-dynamics navier-stokes incompressible Ben
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Dies ist am einfachsten zu erkennen, wenn man die stationären Stokes-Gleichungen betrachtet was dem Problem Wenn Sie den Lagrangian und dann die Optimalitätsbedingungen dieser Optimierungsprobleme aufschreiben, werden Sie feststellen, dass der Druck tatsächlich der Lagrange-Multiplikator ist.

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

\underset{u}{Mindest} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) damit \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

Diese Äquivalenz zwischen Problemen wird in keinem numerischen Schema (das ich kenne) ausgenutzt, aber es ist ein wichtiges Werkzeug in der Analyse, weil es zeigt, dass die Stokes-Gleichungen im Wesentlichen die Poisson-Gleichung in einem linearen Unterraum sind. Dasselbe gilt für die zeitabhängigen Stokes-Gleichungen (die der Wärmegleichung im Unterraum entsprechen) und kann auf die Navier-Stokes-Gleichungen erweitert werden.

Wolfgang Bangerth
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Vielen Dank für eine tolle Antwort. Wissen Sie, ob diese Formulierung auf den zeitabhängigen Fall ausgedehnt werden kann?

Ben

Ja, wie ich schon sagte, es führt zu einer Wärmegleichung im Subraum der divergenzfreien Funktionen.

Wolfgang Bangerth

Entschuldigung, ich hätte klarer sein sollen. Gibt es eine Möglichkeit, die zeitabhängigen Stokes-Gleichungen (oder Navier-Stokes-Gleichungen) als Optimierungsproblem, möglicherweise einer über die Zeit integrierten Funktion, neu zu formulieren?

Ben

Nicht als Optimierungsproblem - die Lösung der Wärmegleichung minimiert nichts (obwohl es der stationäre Punkt einer Lagrange-Funktion ist). Sie können die Stokes-Gleichungen jedoch wie folgt formulieren: Suchen Sie sodass für alle vorbehaltlich der Einschränkung, dass . Beachten Sie, dass ich den Testraum kleiner als den Versuchsraum gewählt habe und daher die linke und rechte Seite der Variationsgleichung nicht gleich sind. Der Unterschied ist der Druck.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

Wolfgang Bangerth

Druck als Lagrange-Multiplikator

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