Druck als Lagrange-Multiplikator

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In den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen Der Druckbegriff wird oft als Lagrange-Multiplikator bezeichnet, der die Inkompressibilitätsbedingung.

ρ(ut+(u)u)=-p+μΔu+fu=0

Inwiefern ist das wahr? Gibt es eine Formulierung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen als Optimierungsproblem, das der Inkompressibilitätsbeschränkung unterliegt? Wenn ja, gibt es ein numerisches Analogon, in dem die Gleichungen des inkompressiblen Flüssigkeitsflusses innerhalb eines Optimierungsrahmens gelöst werden?

Ben
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Antworten:

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Dies ist am einfachsten zu erkennen, wenn man die stationären Stokes-Gleichungen betrachtet was dem Problem Wenn Sie den Lagrangian und dann die Optimalitätsbedingungen dieser Optimierungsprobleme aufschreiben, werden Sie feststellen, dass der Druck tatsächlich der Lagrange-Multiplikator ist.

-μΔu+p=fu=0
Mindestuμ2u2-(f,u)damitu=0.

Diese Äquivalenz zwischen Problemen wird in keinem numerischen Schema (das ich kenne) ausgenutzt, aber es ist ein wichtiges Werkzeug in der Analyse, weil es zeigt, dass die Stokes-Gleichungen im Wesentlichen die Poisson-Gleichung in einem linearen Unterraum sind. Dasselbe gilt für die zeitabhängigen Stokes-Gleichungen (die der Wärmegleichung im Unterraum entsprechen) und kann auf die Navier-Stokes-Gleichungen erweitert werden.

Wolfgang Bangerth
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Vielen Dank für eine tolle Antwort. Wissen Sie, ob diese Formulierung auf den zeitabhängigen Fall ausgedehnt werden kann?
Ben
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Ja, wie ich schon sagte, es führt zu einer Wärmegleichung im Subraum der divergenzfreien Funktionen.
Wolfgang Bangerth
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Entschuldigung, ich hätte klarer sein sollen. Gibt es eine Möglichkeit, die zeitabhängigen Stokes-Gleichungen (oder Navier-Stokes-Gleichungen) als Optimierungsproblem, möglicherweise einer über die Zeit integrierten Funktion, neu zu formulieren?
Ben
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Nicht als Optimierungsproblem - die Lösung der Wärmegleichung minimiert nichts (obwohl es der stationäre Punkt einer Lagrange-Funktion ist). Sie können die Stokes-Gleichungen jedoch wie folgt formulieren: Suchen Sie sodass für alle vorbehaltlich der Einschränkung, dass . Beachten Sie, dass ich den Testraum kleiner als den Versuchsraum gewählt habe und daher die linke und rechte Seite der Variationsgleichung nicht gleich sind. Der Unterschied ist der Druck. uHdiv(ut,φ)+(u,φ)=(f,φ)φ{vHdiv:v=0}u=0
Wolfgang Bangerth