Was ist mit "spektralem Moment" gemeint?

Ich habe die allmächtigen Orakel von Google und Wiki konsultiert, aber ich kann anscheinend keine Definition für den Ausdruck "der Moment des Spektrums" finden.

Ein älterer Arbeitstext, den ich gerade lese, verwendet ihn auf folgende Weise und definiert die Anzahl der Nulldurchgänge pro Zeiteinheit wie folgt:

$$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$$

Anschließend wird die Anzahl der Extrema pro Zeiteinheit weiter definiert als:

$$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$$

wo es schließlich heißt: "wo $m_i$ der $i$ te Moment des Spektrums ist."

Ist das schon mal jemandem begegnet? Was ist der "Moment" eines Spektrums? Ich habe noch nie in der DSP-Literatur davon gehört.

Nehmen Sie durchgehend Tiefpasssignale an.

Da ist in der Regel komplex-wertigen, mit dem Leistungsspektrum | X ( f ) | 2 ist wahrscheinlich eine bessere Idee, besonders wenn Sie danach Quadratwurzeln usw. ziehen möchten. Somit ist m k definiert als m k = ∫ ∞ - ∞ f k | X ( f ) | 2 d f . Es ist insbesondere zu beachten, dass m 0 die Leistung im Signal ist und m 1 = $X(f)$$|X(f)|^2$$m_k$

$$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$$ $m_0$$m_1 = 0$ Nun ist die Gabor-Bandbreite eines Signals gegeben durch G = $G$ Um dies in eine etwas andere Perspektive zu bringen,| X(f)| 2ist eine nichtnegative Funktion und die "Fläche unter der Kurve|X(f)|2", d. H. m0ist die Leistung im Signal. Daher| X(f)| 2/m0ist effektiv eineWahrscheinlichkeitsdichtefunktioneines Null-MittelZufallsvariablederen Varianz σ2=∫∞- $$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$$ $|X(f)|^2$$|X(f)|^2$$m_0$$|X(f)|^2/m_0$. $$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$$

Eine Sinuskurve der Frequenz Hz hat 2 G = 2 $G$$2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$$\omega$$G$$2\pi$

$$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$$

$x(t)$$j2\pi f X(f)$$|2\pi f X(f)|^2$

$$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$$ $$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$$

Ich weiß nicht, dass ich diesen Begriff schon einmal gehört habe, aber ich würde den Begriff "Moment" so interpretieren, dass er eine analoge Bedeutung zu den physikalischen Konzepten des Massenschwerpunkts und des ersten und zweiten Momentes des Gebiets hat:

$$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$$

$k$

$L$

ein Ausdruck, der das Produkt einer Entfernung und einer anderen physikalischen Größe beinhaltet und auf diese Weise berücksichtigt, wie die physikalische Größe lokalisiert oder angeordnet ist

$\alpha$$g$$D$$c$

$$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$$ $$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$$ $x$$X(f)$$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$ $$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$$

Siehe zum Beispiel: Effiziente Berechnung von Spektralmomenten zur Bestimmung von Zufallsantwortstatistiken für Spektralmomente: "Spektralmomente werden aus der einseitigen PSD berechnet".

$L$$m_1/m_2$