Was ist ein AMDF?

Ich habe das Wort "Formel" mit "AMDF" noch nie gesehen . Mein Verständnis der Definition von AMDF ist

{Q.}_{x} [k, n_{0}]] ≜ \frac{1}{N.} \sum_{n = 0}^{N. - - 1} | x [n + n_{0}]] - - x [n + n_{0} + k]] |

$Q_x[k,n_0] \triangleq \frac{1}{N} \sum\limits_{n=0}^{N-1} \Big| x[n+n_0] - x[n+n_0+k] \Big|$

$n_0$ ist die interessierende Nachbarschaft in . Beachten Sie, dass Sie nur nicht negative Begriffe zusammenfassen. Also . Wir nennen " " die "Verzögerung" . klar, wenn , dann ist . Wenn mit der Periode periodisch ist (und wir für den Moment so tun, als wäre eine ganze Zahl), dann ist und für jede ganze Zahl . $x[n]$ $Q_x[k,n_0] \ge 0$ $k$ $k=0$ $Q_x[0,n_0]=0$ $x[n]$ $P$ $P$ $Q_x[P,n_0]=0$ $Q_x[mP,n_0]=0$ $m$

Selbst wenn nicht genau periodisch ist oder wenn die Periode nicht genau eine ganzzahlige Anzahl von Abtastwerten ist (bei der bestimmten Abtastrate, die Sie verwenden), würden wir für jede Verzögerung erwarten , das nahe an der Periode oder einem beliebigen ganzzahligen Vielfachen der Periode liegt. Wenn nahezu periodisch ist, die Periode jedoch nicht eine ganzzahlige Anzahl von Abtastwerten aufweist, erwarten wir, dass zwischen ganzzahligen Werten von interpoliert werden , um ein noch niedrigeres Minimum zu erhalten. $x[n]$ $Q_x[k,n_0] \approx 0$ $k$ $x[n]$ $Q_x[k,n_0]$ $k$

Mein Favorit ist nicht der AMDF, sondern der "ASDF" (raten Sie mal, wofür das "S" steht?)

{Q.}_{x} [k, n_{0}]] ≜ \frac{1}{N.} \sum_{n = 0}^{N. - - 1} (x [n + n_{0}]] - - x [n + n_{0} + k]])^{2}

$Q_x[k,n_0] \triangleq \frac{1}{N} \sum\limits_{n=0}^{N-1} \big( x[n+n_0] - x[n+n_0+k] \big)^2$

Es stellt sich heraus, dass Sie damit rechnen können, da die Quadratfunktion kontinuierliche Ableitungen hat, die Absolutwertfunktion jedoch nicht.

Hier ist ein weiterer Grund, warum ich ASDF besser mag als AMDF. Wenn sehr groß ist und wir ein wenig schnell und locker mit den Grenzen der Summation spielen: $N$

\begin{aligned} {Q.}_{x} [k]] & = \frac{1}{N.} (\sum_{n} (x [n]] - - x [n + k]])^{2}) \\ = \frac{1}{N.} (\sum_{n} (x [n]])^{2} + \sum_{n} (x [n + k]])^{2} - - 2 \sum_{n} x [n]] x [n + k]]) \\ = \frac{1}{N.} \sum_{n} (x [n]])^{2} + \frac{1}{N.} \sum_{n} (x [n + k]])^{2} - - \frac{2}{N.} \sum_{n} x [n]] x [n + k]] \\ = \bar{x^{2} [n]]} + \bar{x^{2} [n]]} - - 2 {R.}_{x} [k]] \\ = 2 (\bar{x^{2} [n]]} - - {R.}_{x} [k]]) \end{aligned}

$\begin{align} Q_x[k] & = \frac{1}{N} \left( \sum_n \big( x[n] - x[n+k] \big)^2 \right) \\ & = \frac{1}{N} \left( \sum_n (x[n])^2 + \sum_n (x[n+k])^2 - 2 \sum_n x[n] x[n+k] \right) \\ & = \frac{1}{N} \sum_n (x[n])^2 + \frac{1}{N}\sum_n (x[n+k])^2 - \frac{2}{N} \,\sum_n x[n] x[n+k] \\ & = \overline{x^2[n]} + \overline{x^2[n]} - 2\, R_x[k] \\ & = 2 \left( \overline{x^2[n]} - R_x[k] \right) \\ \end{align}$

\begin{aligned} {R.}_{x} [k]] & ≜ \frac{1}{N.} \sum_{n} x [n]] x [n + k]] \\ = \bar{x^{2} [n]]} - - \frac{1}{2} {Q.}_{x} [k]] \\ = {R.}_{x} [0]] - - \frac{1}{2} {Q.}_{x} [k]] \end{aligned}

$\begin{align} R_x[k] & \triangleq \frac{1}{N} \sum_n x[n] x[n+k] \\ & = \overline{x^2[n]} - \tfrac{1}{2} Q_x[k] \\ & = R_x[0] - \tfrac{1}{2} Q_x[k] \\ \end{align}$

wird normalerweise als "Autokorrelation" von identifiziert . $x[n]$

Wir erwarten daher, dass die Autokorrelationsfunktion eine verkehrte (und versetzte) Nachbildung des ASDF ist. Überall dort, wo die Autokorrelationsspitzen liegen, hat der ASDF (und normalerweise auch der AMDF) ein Minimum.

robert bristow-johnson
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