Intuitive Erklärung der Kreuzkorrelation im Frequenzbereich

Gemäß dem Kreuzkorrelationssatz ist die Kreuzkorrelation zwischen zwei Signalen gleich dem Produkt der Fouriertransformation eines Signals multipliziert mit dem komplexen Konjugat der Fouriertransformation eines anderen Signals. Wenn wir danach den Schuß des Produktsignals nehmen, erhalten wir eine Spitze, die die Verschiebung zwischen zwei Signalen anzeigt.

Ich kann nicht verstehen, wie das funktioniert? Warum sollte ich einen Peak bekommen, der die Verschiebung zwischen zwei Signalen anzeigt? Ich habe die Mathematik von: http://mathworld.wolfram.com/Cross-CorrelationTheorem.html, aber ich kann nicht verstehen, was dies intuitiv bedeutet. Kann mir jemand bitte eine Erklärung geben oder mich auf die richtigen Dokumente hinweisen?

Vielen Dank!

Das Konzept basiert auf dem Faltungssatz , der besagt, dass für zwei Signale und y ( t ) das Produkt ihrer Fouriertransformationen X ( f ) und Y ( f ) gleich der Fouriertransformation der Faltung von ist die beiden signale. Das ist:$x(t)$$y(t)$$X(f)$$Y(f)$

Weitere Informationen zur Ableitung dieses Theorems finden Sie unter dem obigen Wikipedia-Link. Nun ist die Faltung eine sehr wichtige Operation für lineare Systeme an sich, weshalb die Theorie zu ihren Eigenschaften gut entwickelt ist.

Was Sie jedoch suchen, ist die Kreuzkorrelation zwischen und y ( t ) . Hier ist der Schlüssel: Sie das Kreuzkorrelationsintegral entspricht dem Faltungsintegral, wenn eines der Eingangssignale konjugiert und zeitlich umgekehrt ist . Auf diese Weise können Sie die für die Bewertung von Faltungen entwickelte Theorie (wie Frequenzbereichstechniken für deren schnelle Berechnung) verwenden und auf Korrelationen anwenden.$x(t)$$y(t)$

In Ihrem Beispiel berechnen Sie Folgendes:

Denken Sie daran, dass im Fourier-Bereich die komplexe Konjugation der Zeitumkehr im Zeitbereich entspricht (dies folgt direkt aus der Definition der Fourier-Transformation). Daher können wir unter Verwendung der oben angegebenen ersten Gleichung feststellen, dass:

$x(t)$$y(t)$

% Matlab function for frequency domain cross correlation
function [Lag,C]=xcorrf(X,Y,L)
% X, Y ---> Input vectors 
% L --->  maximum lag (must be less than minimum of (length of X, Y)
% C ---> correlation vector
% Lag ---> lag times  
X=X(:);
Y=Y(:);
s1=size(X);
s2=size(Y);
D=min(s1(1,1),s2(1,1));
for i=1:L
    X1=ifft(fft(X(1:D-i,:)).*conj(fft(Y(i+1:D,1))));
    C(i,1)=X1(1,1);
end

C=flipud(C);
X1=ifft(fft(X(1:D,:)).*conj(fft(Y(1:D,1))));
C(L+1,1)=X1(1,1);
for i=1:L
    X1=ifft(fft(Y(1:D-i,:)).*conj(fft(X(i+1:D,1))));
    C(i+L+1,1)=X1(1,1);
end
Lag=-L:1:L;
end