Eingeschränkte Isometrieeigenschaft (RIP) in Compressive Sensing

Welche Bedeutung hat die RIP-Bedingung (Restricted Isometry Property) bei der Drucksensorik für die Analyse sparsamer Signale? Wie können wir die Restricted Isometry Constant (RIC) für die RIP-Bedingung definieren?

Danke im Voraus!

Die Eigenschaft der eingeschränkten Isometrie besagt: für jeden spärlichen Vektor . Die eingeschränkte Isometriekonstante ist , .

Dies bedeutet, dass die Matrix garantiert nur die Länge eines Vektors "sehr wenig" ändert, solange der Vektor mindestens sparsam ist (höchstens Koeffizienten ungleich Null hat).$A$$x$$x$$S$$S$

Angenommen, wir haben beliebige -Sparse-Vektoren . Um solche Vektoren im Allgemeinen aus Messungen als rekonstruieren zu können , müssen wir sicher sein, dass es möglich ist, zwischen Messungen und von zwei solchen Vektoren zu unterscheiden. Wenn für zwei solche Vektoren und , könnten wir sie nicht unterscheiden und eindeutig rekonstruieren. Daher müssen wir sicherstellen, dass die Messungen von zwei beliebigen -Sparse-Vektoren "ausreichend unterschiedlich" sind.$\frac{S}{2}$$x$$y = A x$$y_1 = A x_1$$y_2 = A x_2$$y_1 = y_2$$x_1$$x_2$$\frac{S}{2}$

Wenn wir die Differenz zwischen zwei -Sparse-Vektoren berechnen, kann ihre Differenz höchstens Sparsamkeit betragen. Um also einen -Sparse-Vektor aus Messungen mit korrekt zu rekonstruieren , quantifiziert die eingeschränkte Isometrie-Eigenschaft, wie gut dies (je kleiner , besser).$\frac{S}{2}$$S$$\frac{S}{2}$$A$$A$$\delta_S$

Für eine frühe Einführung in die komprimierte Abtastung und die eingeschränkte Isometrieeigenschaft (und andere Konzepte) siehe Candès & Wakin, 2008 .