Eingeschränkte Isometrieeigenschaft (RIP) in Compressive Sensing

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Welche Bedeutung hat die RIP-Bedingung (Restricted Isometry Property) bei der Drucksensorik für die Analyse sparsamer Signale? Wie können wir die Restricted Isometry Constant (RIC) für die RIP-Bedingung definieren?

Danke im Voraus!

Tuner
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Weitere Informationen zu Eigenschaften, Verallgemeinerung und Nützlichkeit des RIP in Compressed Sensing finden Sie im aktuellen Artikel ... arxiv.org/abs/1410.1956
Oliver

Antworten:

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Die Eigenschaft der eingeschränkten Isometrie besagt: für jeden spärlichen Vektor . Die eingeschränkte Isometriekonstante ist , .

(1δS)||x||22||Ax||22(1+δS)||x||22
SxδS0<δS<1

Dies bedeutet, dass die Matrix garantiert nur die Länge eines Vektors "sehr wenig" ändert, solange der Vektor mindestens sparsam ist (höchstens Koeffizienten ungleich Null hat).AxxSS

Angenommen, wir haben beliebige -Sparse-Vektoren . Um solche Vektoren im Allgemeinen aus Messungen als rekonstruieren zu können , müssen wir sicher sein, dass es möglich ist, zwischen Messungen und von zwei solchen Vektoren zu unterscheiden. Wenn für zwei solche Vektoren und , könnten wir sie nicht unterscheiden und eindeutig rekonstruieren. Daher müssen wir sicherstellen, dass die Messungen von zwei beliebigen -Sparse-Vektoren "ausreichend unterschiedlich" sind.S2xy=Axy1=Ax1y2=EINx2y1=y2x1x2S.2

Wenn wir die Differenz zwischen zwei -Sparse-Vektoren berechnen, kann ihre Differenz höchstens Sparsamkeit betragen. Um also einen -Sparse-Vektor aus Messungen mit korrekt zu rekonstruieren , quantifiziert die eingeschränkte Isometrie-Eigenschaft, wie gut dies (je kleiner , besser).S.2S.S.2EINEINδS.

Für eine frühe Einführung in die komprimierte Abtastung und die eingeschränkte Isometrieeigenschaft (und andere Konzepte) siehe Candès & Wakin, 2008 .

Thomas Arildsen
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Beachten wir auch, dass die Konstante nicht auf beiden Seiten gleich sein muss, z. B. die Gaußsche Erfassungsmatrix. Bitte lesen Sie den aktuellen Artikel. arxiv.org/abs/1410.1956δS.
Oliver
Sollte die gegebene Eigenschaft für eine Untermatrix von ? EIN
Dilawar
Kann man die RIP-Eigenschaft in der Praxis mit einem Algorithmus auf eine konkrete Matrix überprüfen?
Charlie Parker
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@CharlieParker nein leider nicht. Dabei wird die SVD aller möglichen Spalten-Untermatrizen von berechnet . Dies wird schnell eine unrealistische Zahl von Kombinationen auch für maßvoll dimensioniert berechnen . Und denken Sie daran, dass die Druckmessung umso besser funktioniert, je größer und . S.EINEINEINx
Thomas Arildsen