Anwendbarkeit der komprimierten Abtastung

Nach dem, was ich gehört habe, kann die komprimierte Abtastung nur für ein schwaches Signal verwendet werden. Ist das richtig?

Wenn dies der Fall ist, wie kann ein spärliches Signal von einem bandbegrenzten Signal unterschieden werden? Jedes Signal kann so erweitert werden, dass es einen spärlichen oder einen Signalanteil mit dem Koeffizienten Null enthält, als es in diesem Fall ein spärliches Signal wird.

Ruft die ständige komprimierte Erfassung auch Informationen oder Signale perfekt ab?

Hinzugefügt: Übrigens, ich habe gerade angefangen, diese Dinge zu lernen. Der Zweck dieser Frage ist es, ein bisschen zu schmecken, was diese Dinge sind.

Wie @sansuiso bereits sagte, ist die komprimierte Erfassung eine Möglichkeit, Signale zu erfassen, die effizient sind, wenn die Signale spärlich oder komprimierbar sind.

Compressed Sensing ist effizient, da Signale gemultiplext werden. Daher ist die Anzahl der gemultiplexten Abtastwerte (Messwerte genannt) geringer als die Anzahl der von Shannon-Nyquist benötigten Abtastwerte, bei denen keine starken Annahmen für das Signal vorliegen.

Im geräuschlosen Fall kann gezeigt werden, dass der Compressive-Sensing-Rekonstruktionslöser eine exakte Lösung wiederherstellen kann.

Im komprimierbaren Fall kann im Gegensatz zum streng spärlichen Fall gezeigt werden, dass der Rekonstruktionsfehler begrenzt ist.

Und ja, die meisten Signale, einschließlich Ultraschall, sind entweder spärlich oder komprimierbar. Im Allgemeinen kommt es darauf an, das Wörterbuch herauszufinden, in dem das Signal spärlich ist. Domain-Experten kennen diese Dinge im Allgemeinen.

Die interessante Frage, die Sie haben, lautet: Stellen Sie sich vor, Sie haben ein nicht spärliches Signal und fügen dann Nullen hinzu, um es spärlich zu machen. Verwenden Sie dann die komprimierte Abtastung, um dieses Signal abzutasten. Wäre es nicht besser, das gesamte Signal direkt abzutasten?

Die Antwort ist nein.

Es stellt sich heraus, dass die Abtastanforderungen, für die CS-Arbeit erforderlich ist, mehr Informationen erfordern, als nur eine vollständige Abtastung des ursprünglichen Signals (Voll / Nicht-Null) durchzuführen. Mit anderen Worten, die Anzahl der erforderlichen CS-Messungen wäre höher als die Anzahl der Nicht-Null-Elemente in den Signalen. Durch die Sparsamkeit des Signals verlieren Sie absichtlich die Information darüber, wo das Signal unterstützt wird (dh nicht Null). Der schwierige Teil von Compressive Sensing und zugehörigen Rekonstruktionslösern besteht darin, den Ort zu finden, an dem diese Nicht-Null-Elemente des Signals leben: Wenn Sie die Orte dieser Nicht-Null-Elemente im Voraus kennen, müssen Sie nicht zu einer weniger effizienten Methode von wechseln Abtasten dieses Signals. In der Tat ist das Ermitteln der Position der Nicht-Null-Elemente eines Signals der Grund, warum wir davon sprechen, dass die kompressive Abtastung NP-hart ist.

Lassen Sie es mich anders formulieren: Nehmen wir an, ein Signal hat K Komponenten ungleich Null. Wenn Sie die Position dieser K-Elemente kennen, benötigen Sie nur K-Informationen, um Ihr Signal zu kennen. Wenn Sie an einer beliebigen Stelle im Signal Nullen hinzufügen und dieses Signal zu einem Signal der Größe N machen, müssen Sie das Signal jetzt N-mal durch herkömmliche Abtastung oder O-mal (Klog (K / N)) mit einem kompressiven Abtastansatz abtasten. Da O (Klog (K / N)> K, hat der Verlust der Information über die Position der Nicht-Null-Elemente einen größeren Satz von Abtastwerten / Messungen ergeben.

Vielleicht möchten Sie meinen kleinen Blog zum Thema lesen: http://nuit-blanche.blogspot.com/search/label/CS Und die folgende Ressource: http://nuit-blanche.blogspot.com/p/teaching -compressed-sensing.html

Hier gibt es zwei Dinge: Sparsamkeit und komprimierte Wahrnehmung .

Sparsity ist eine allgemeine Hypothese, bei der lediglich behauptet wird, dass der größte Teil der Energie eines Signals in einer kleinen Anzahl von Koeffizienten auf der guten Basis gespeichert ist. Dies ist ziemlich intuitiv, wenn man Fourier-Transformationen oder Wavelet-Transformationen betrachtet. Dies gilt wahrscheinlich für jedes Signal von Interesse (Bild, Ton ...) und erklärt, warum die JPEG- oder MP3-Komprimierung funktioniert.

Zitat von JL Starck auf der ICIP'11 (während der Fragen nach seinem Plenarvortrag):

Compressed Sensing ist ein Theorem.

Er meint damit, dass die komprimierte Abtastung eine Reihe von Ergebnissen ist, die Ihnen garantieren, dass ein spärliches Signal mit sehr wenigen Messungen exakt wiederhergestellt werden kann, vorausgesetzt, Sie haben die gute Abtastmatrix, dh Ihre Messungen haben einige nette Eigenschaften (jemand hat mir das als erklärt) eine Art gemultiplexte Abtastung ). Rekonstruktionsalgorithmen verwenden die Spärlichkeit des Signals als zusätzliche Information während des Rekonstruktionsprozesses, normalerweise durch Minimieren der L1-Norm des Signals auf einer Wavelet-Basis (erinnern Sie sich, dass das auf die L0-Norm beschränkte Wiederherstellungsproblem normalerweise nicht lösbar ist, da es NP- ist). schwer).

Ich bin kein Experte für komprimierte Wahrnehmung, aber ich kenne mich damit aus.

Ich habe irgendwo gehört, dass die komprimierte Abtastung nur für ein spärliches Signal verwendet werden kann. Ist das richtig?

Nein, es kann überall verwendet werden, aber wie Dilip sagte, ist es nur für spärliche Signale sinnvoll. Wenn das Signal nicht dünn ist, gibt es keinen Grund, keine Standard-Nyquist-Abtastung durchzuführen, da dies effizient ist.

Und wie kann man ein spärliches Signal von einem bandbegrenzten Signal unterscheiden?

Obwohl ich sicher bin, dass es formale Definitionen von "Sparsity" gibt (und diese wahrscheinlich auch nicht identisch sind), ist mir keine formale Definition bekannt. Was Menschen unter Sparsamkeit verstehen, ändert sich je nach Kontext.

Ich würde sagen, dass ein spärliches Signal jedes Signal ist, das einen viel geringeren Informationsgehalt hat (unter Verwendung der informationstheoretischen Definition des Wortes), als es möglicherweise hätte, wenn es kontinuierlich wäre und seinen Frequenzbereich vollständig ausnutzen würde. Was sind einige Beispiele für spärliche Signale? Frequenzsprungsignale. Burstige Signale. Ein Walkie-Talkie-AM-Signal, das kontinuierlich übertragen wird, auch wenn niemand spricht.

Jedes Signal kann erweitert werden, um einen spärlichen oder einen Nullkoeffizienten-Signalteil einzuschließen .......

Was ist, als würde man sagen, dass das Signal 100 MHz breit ist, auch wenn es nur 1 MHz breit ist? Sie können Dinge so definieren, wie Sie es möchten, so wie es Astronomen aus alter Zeit gelang, die Mathematik der Sonne, die die Erde umkreist, zum Funktionieren zu bringen. Das bedeutet nicht, dass ihre Gleichungen nützlich waren.

Und ruft die ständige komprimierte Erfassung Informationen oder Signale perfekt ab?

Compressed Sensing ist eine Technik. Wie bei jeder Technik (einschließlich Nyquist-Sampling) gibt es Bedingungen. Wenn Sie die Bedingungen erfüllen, verwenden Sie gute Funktionsextraktoren für das Signal, das Sie erfassen möchten. Dies funktioniert gut. Wenn nicht, wird es nicht. Keine Technik extrahiert Signale perfekt in irgendetwas außerhalb eines theoretischen Modells. Ja, ich bin sicher, dass es theoretische Signale gibt, die die komprimierte Abtastung perfekt extrahieren kann.

Es ist nicht so, dass es nur für spärliche Signale funktioniert, aber Sie haben die Domäne gefunden, in der das Signal fast spärlich ist (Alle natürlich vorkommenden Signale sind in einer Domäne spärlich, mit Ausnahme von zufälligem Rauschen). In einer Domäne kann das Signal mit weniger Messungen angenähert werden, werden alle anderen Messungen relativ klein sein, so dass Sie sie sicher verwerfen können.