Anzahl der Daubechies-Koeffizienten

Ich wundere mich über die Korrelation zwischen der Eingangsgröße und der Anzahl der Koeffizienten, die durch eine diskrete Wavelet-Transformation gegeben sind.

Ich verwende Daubechies-Wavelets, um eine 1D-Funktion zu beschreiben, und ich verwende PyWavelets, um sie zu implementieren (analog zur MATLAB-Toolbox).

Ich begann damit, es mit Haar-Wavelets zu implementieren, was zu korrekten Ergebnissen führte und ich verstehe genau, wie es funktioniert. Angenommen, meine Eingabefunktion hat 16 Datenpunkte. Wenn ich Haar verwende, wavedecergibt sich aus einer mehrstufigen Zerlegung ( ) etwa Folgendes (die Anzahl der Verschiebungen in Klammern):

V1[1], W1[1], W2[2], W3[4], W4[8]

Das ist alles schön und gut. Die V1 gibt mir die Skalierungsfunktion und die W1-W5-Wavelets unterschiedlicher Skalierung und Dilatation. Mein Problem ist, wenn ich die nächsten Daubechies ( 'db2'in der Toolbox als D4 bezeichnet ) verwende und bekomme

V1[6], W1[6], W2[9]

Ich verliere meine ganze Intuition. Ich habe keine Ahnung, woher 6, 6 und 9 kommen, und sie ändern sich abhängig von der von mir angegebenen Ebene (nicht einmal sicher, was es bedeutet, eine Ebene anzugeben) und natürlich der Eingabegröße. Wie kann ich die Anzahl der Koeffizienten vorhersagen und welche guten Ressourcen gibt es, um besser zu verstehen, warum?

Vielen Dank!

EDIT: Klarstellung zu V und W:

$V_n$ bezeichnet normalerweise die Spanne einer bestimmten Skalierungsfunktion, , dh , wobei die Verschiebung und die Skalierung ist. ist bis auf die Wavelet-Funktion . Ich hätte die Notation vielleicht ein wenig missbrauchen können, indem ich mich auf die Vektoren der Koeffizienten von V und W bezogen hätte.$\phi$$\{\phi_{n,k}\}$$k$$n$$W_n$$\psi$

EDIT2: Code

Hier ist der MATLAB-Code, um Folgendes zu erzeugen:

>> [C, L] = wavedec(1:16, 4, 'db1'); L
L = 
     1     1     2     4     8    16
>> [C, L] = wavedec(1:16, 2, 'db2'); L
L =
     6     6     9    16

Ich habe tatsächlich PyWavelets verwendet, wo es so aussah:

>>> import pywt
>>> map(len, pywt.wavedec(range(16), 'db1')) # defaults to level = 4
[1, 1, 2, 4, 8]
>>> map(len, pywt.wavedec(range(16), 'db2')) # defaults to level = 2
[6, 6, 9]

Laut MATLAB- Dokumentation am wavedec,

Die Länge jedes Filters ist gleich $2N$. Wenn n = length(s), die Signale$F$ und $G$ sind von Länge $n + 2N −1$ und die Koeffizienten $cA_1$ und $cD_1$ sind von Länge

$$\text{floor}\left( \frac{n-1}{2} \right) + N$$

Hier, $n=16$ ist die Länge Ihres Signals und $N=2$ ist die Daubechies-Nummer.

Zusammengenommen sollten Ihre Detailkoeffizienten auf der zweiten Ebene lang sein

Auf der zweiten Ebene sollten Ihre Koeffizienten lang sein

Wenn Sie sich fragen, warum dies der Fall sein muss, stellen Sie sich das Filter-Dezimierungs-Verfahren vor. Skalierungs- und Wavelet-Funktion für$\text{db}m$ Wavelets sind von Länge $2m$. Wenn Sie Länge falten$n$ Signal mit Länge $2m$ Signal erhalten Sie ein Signal der Länge zurück $l_0=n+2m-1$. Wenn Sie jede zweite Probe dieses resultierenden Signals nehmen, erhalten Sie etwas von Länge zurück$l_1 = \frac{n+2m-1}{2} = \frac{l_0}{2}$. Natürlich, wenn$l_0$ ist ungerade ($n$ist gerade), dann können wir das Signal nicht genau in zwei Teile teilen . Mit cleverer Mathematik, auf die ich hier nicht näher eingehen werde, können Sie zeigen, dass dieser letzte nicht gepaarte Koeffizient ohnehin redundant ist (enthält keine Informationen, die wir noch nicht kennen), sodass Sie ihn einfach weglassen können. Daher haben wir immer das resultierende dezimierte Längensignal