Wie man einen Phasenschieber mit beliebiger Phasenverschiebung baut

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Fred, ein DSP-Ingenieur, geht in seinen Lieblings-DSP-Laden, um ein paar Einkäufe zu erledigen.

Fred: Hallo, ich würde gerne einen Phasenschieber kaufen.

Verkäuferin: Hmm, was genau meinst du?

Fred: Nun, wissen Sie, wenn Sie eine Sinuskurve wie x(t)=sin(ω0t) eingeben, erhalten Sie am Ausgang y(t)=sin(ω0tθ) für jedes ω0 . Und natürlich muss θ einstellbar sein.

Verkäuferin: Oh, ich verstehe. Entschuldigung, nein, die haben wir nicht. Aber ich erinnere mich, dass andere Leute das Gleiche brauchen und immer einen Hilbert-Transformator, ein paar Multiplikatoren und einen Addierer kaufen und all diese Dinge irgendwie miteinander verbinden, um einen einstellbaren Phasenschieber herzustellen.

Fred: Oh ja, richtig!

Fred gibt vor zu verstehen, wovon der Typ spricht. Natürlich hat er keine Ahnung, wie das geht. Er kauft alles, was der Typ gesagt hat, dass er es braucht, und denkt selbst, dass er es zu Hause herausfinden könnte, oder, wenn alles andere fehlschlägt, könnte er es bei DSP.SE fragen.

Wie kann Fred mit den Komponenten, die er im Laden bekommen hat , einen Phasenschieber mit einstellbarer Phasenverschiebung bauen ?θ

Matt L.
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Tolle Sache! Bitte klären Sie, ob die Phase für alle Frequenzen (über ein bestimmtes Band) gleich sein muss oder ob eine konstante willkürliche Verzögerung ausreichend wäre (bei jeder Frequenz können Sie die Phase festlegen, aber die Phase ändert sich linear mit der Frequenz). Ich glaube, ich kenne die Antwort für beide Fälle, werde aber ein paar Tage warten, um zu sehen, was sonst noch kommt!
Dan Boschen
Dieser Laden, von dem Sie sprechen ... er befindet sich neben Hilberts Hotel, richtig?
M529
Die einzigen anständigen Hilbert-Transformatoren, die hier in den Läden angeboten werden, scheinen diese enormen Eingangs- und Ausgangsverzögerungen zu haben. Ich habe einige schnellere in einem Katalog von Zeitmaschinen gesehen, aber die Yelp-Bewertungen für diesen Anbieter scheinen 0 Sterne zu haben.
hotpaw2
@DanBoschen: Jeder sinusförmige Eingang wird unabhängig von seiner Frequenz um verschoben . Die Phasenverzögerung ist also für jede Frequenz unterschiedlich. θ
Matt L.
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@ hotpaw2: Ignoriere einfach diese Sterne und hol dir schnell einen, bevor sie ausverkauft sind!
Matt L.

Antworten:

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Gute Frage! Es verwendet eine meiner bevorzugten Triggeridentitäten (die auch verwendet werden kann, um zu zeigen, dass Quadraturmodulation tatsächlich simultane Amplituden- und Phasenmodulation ist).

Die Hilbert-Transformation von ist - cos ( 2 π f 0 t ) . Auch sin ( 2 π f 0 t + θ ) = a sin ( 2 π f 0 t ) + B cos ( 2 π f 0 t ) (beschränkt auf ein 2 + b 2 =sin(2πf0t)cos(2πf0t)

sin(2πf0t+θ)=asin(2πf0t)+bcos(2πf0t)
) mit θ = atan2 ( b , a ) . Dies legt einen möglichen Ansatz nahe. Angenommen, Fred benötigt θ = 2,1 Radian. Er berechnet tan ( 2.1 ) - 1.71 . Dann muss er a und b so finden, dass a 2 + b 2 = 1 und b / a = - 1,71 mit a < 0 und b > 0a2+b2=1θ=atan2(b,a)θ=2.1tan(2.1)1.71aba2+b2=1b/a=1.71a<0b>0, das ist ein einfaches Algebra-Problem. Setze , b 0 = 1,71 , n = a0=1b0=1.71 ,a=a0/nundb=b0/n. Dann kann Fred leicht eine Sinus mit der gewünschten Phase erzeugenindem einen Hilbert Transformator, zwei Multiplizierer, zwei Gleichstromquellen (ein Satz zueinemVolt und die andere-bVolt, kümmern das Vorzeichen des Kosinus) und ein Addierer.n=a02+b02a=a0/nb=b0/nab

Die Impulsantwort des oben beschriebenen Systems ist gegeben durch:

aδ(t)+bπt

Blockdiagramm:

enter image description here

MBaz
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abcosθsinθ
Matt L.
Können Sie zur Verdeutlichung die Impulsantwort und / oder die Frequenzantwort des Gesamtsystems hinzufügen?
Matt L.
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Sehr guter MBaz, dies entspricht meiner Meinung nach - im Wesentlichen einem "Vektormodulator", der eine gekaufte Komponente für diesen Zweck ist (als eine Anwendung). Der HIlbert-Transformator kann jedoch nicht als echte Komponente erworben werden, ohne ihn auf die Bandbegrenzung zu beschränken (oder ich denke, der Benutzer kann für jedes interessierende Band einen anderen Transformator erhalten). Ich bin jetzt sehr daran interessiert, Matts Lösung zu sehen, wenn sie anders ist, da dies alles war, was ich mir einfallen lassen konnte.
Dan Boschen
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@ MattL. Ich habe die Impulsantwort hinzugefügt. Ich werde ein Diagramm zeichnen und es auch posten. Guter Punkt zur Berechnung vonein und b.
MBaz
@DanBoschen Ja, ich habe angenommen, dass der Hilbert-Transformator ideal ist, was ich für dieses Rätsel für OK halte. Ich bin auch daran interessiert, Matts alternative Lösung zu sehen.
MBaz
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Die Antwort von MBaz ist richtig. Ich möchte nur eine andere Denkweise hinzufügen, die natürlich zum gleichen Ergebnis führt:

Ein idealer Phasenschieber mit Phasenverschiebung θ hat einen Frequenzgang

H.(ω)={e- -jθ,ω>0ejθ,ω<0
welches umgeschrieben werden kann als
H.(ω)=e- -jθZeichen(ω)=cos(θ)- -jZeichen(ω)Sünde(θ)
Das geschulte Auge wird sich identifizieren G(ω)=- -jZeichen(ω)als Frequenzgang eines idealen Hilbert-Transformators. Die entsprechende Impulsantwort istG(t)=1πt. Folglich ist die Impulsantwort des idealen Phasenschiebers
h(t)=cos(θ)δ(t)+sin(θ)1πt
which can be implemented as a weighted parallel connection of a Hilbert transformer and a piece of wire with weights sin(θ) and cos(θ), respectively.

Note that this system can be approximated quite well in a practical (discrete-time) implementation. Just take a well designed FIR linear-phase Hilbert transformer of length 2N+1, and add a delay of N samples to the other signal path.

Matt L.
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Nice explanation -- the frequency-domain counterpart of my time-domain solution.
MBaz
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@MBaz: Thanks! And the scaling factors sin(θ) and cos(θ) pop out automatically.
Matt L.