Wie kann ein Filter eine Gruppenverzögerung von Null haben?

10

Wenn Sie ein Wellenpaket durch das Durchlassband eines Tiefpassfilters 1. Ordnung legen, wird es um die Gruppenverzögerung des Filters verzögert und bleibt gleich Amplitude, oder?

Wenn Sie dasselbe Wellenpaket durch ein komplementäres Hochpassfilter 1. Ordnung mit derselben Grenzfrequenz führen, ist die Gruppenverzögerungskurve dieselbe, sodass die Verzögerung des Pakets dieselbe ist, die Verstärkung jedoch viel geringer ist verzögert und auf Vernachlässigbarkeit gedämpft werden.

Da der Ausgang des Hochpassfilters sehr klein ist, würde ich erwarten, dass er sich geringfügig vom Ausgang des Tiefpassfilters unterscheidet, wenn Sie die Ausgänge dieser beiden Filter (wie bei einer Audio-Frequenzweiche) summieren: Großes verzögertes Signal + sehr klein verzögertes Signal = großes verzögertes Signal.

Wenn Sie jedoch die Filterantworten summieren, beträgt die Amplitude überall 0 dB und die Phase überall 0, und daher wird die Gruppenverzögerung 0, was bedeuten würde, dass das Wellenpaket ohne Verzögerung und ohne Änderungen ausgegeben wird. Ich verstehe nicht, wie das möglich sein kann. Verzögern Filter nicht immer? Wie kann ein Filter (der auch eine positive Gruppenverzögerung aufweist) die vom anderen Kanal verursachte Verzögerung rückgängig machen, insbesondere wenn dies im Sperrbereich geschieht?

Welchen Teil verstehe ich hier falsch?

Die bekanntesten Frequenzweiche mit linearer Phase sind nicht invertierte Frequenzweichen erster Ordnung, ... Die Frequenzweiche erster Ordnung ist eine minimale Phase, wenn ihre Ausgänge normal summiert werden. es hat ein flaches Phasendiagramm bei 0 °. - Das Design aktiver Frequenzweichen

und

Hier ergibt das Ergebnis der Summierung der Ausgänge eine Phasenverschiebung von 0 °, dh die summierte Amplitude und Phasenverschiebung einer Frequenzweiche 1. Ordnung entspricht einem Stück Draht. - Linkwitz-Riley-Frequenzweichen: Eine Einführung: Frequenzweiche 1. Ordnung

Frequenzweiche erster Ordnung

Das Testen der tatsächlichen Impulse zeigt, wie der Tiefpass (blau) den Impuls erwartungsgemäß verzögert und wie der Hochpass (grün) mit ihm kombiniert werden kann, um den ursprünglichen (roten) Impuls zu erzeugen, aber wie tritt der Hochpassimpuls vor dem Original auf, wenn der Hochpassfilter ist kausal und hat eine positive Gruppenverzögerung? Die Intuition versagt mir.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Es zeigt , dass der Hochpassausgang nicht so vernachlässigbar ist, wie ich es mir vorgestellt habe, und die Verzögerung vernachlässigbarer ist als ich es mir vorgestellt habe. Wenn Sie die Trägerfrequenz verschieben, ändern sich diese beiden Eigenschaften proportional (eine geringere Verzögerung erfordert einen Hochpassausgang mit geringerer Amplitude um es zu korrigieren). Aber ich verstehe es immer noch nicht wirklich.

filters phase group-delay Endolith
quelle

H_{l p} (z) + H_{h p} (z) = 1

$H_{lp}(z) + H_{hp}(z) = 1$

n = 0

$n=0$

@ JasonR: Ja, Filter 1. Ordnung, Hochpass und Tiefpass, mit dem gleichen fc. en.wikipedia.org/wiki/Audio_crossover#First_order

Endolith

3

@ Jason: Endolith ist in der Tat richtig. Hi / Lo-Pass erster Ordnung rekonstruiert perfekt parallel. Es gibt andere Fälle, die dies auch tun

Hilmar

Tut mir leid, Leute; Ich dachte nur an Serienkaskaden. Außer Acht lassen.

Jason R

6

$\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$ . Im Zeitbereich bedeutet dies, dass die Impulsantwort des Komplementärfilters einfach das Negative der ursprünglichen Impulsantwort ist, wobei 1 zur ersten Probe hinzugefügt wird. Also bricht das ganze "ringy" Zeug ab. Jetzt ist die Form dieses kostenlosen Filters nicht immer so, wie man es erwarten würde. Für einen Tiefpass 1. Ordnung ist es tatsächlich ein Hochpass erster Ordnung, aber für Filter höherer Ordnung neigt es dazu, Über- / Unterschwankungen im Grenzbereich zu haben. Es existiert jedoch immer als stabiler Kausalfilter.

$\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$

Dies lässt uns die Frage offen, wie die Gruppenverzögerung in diesen Fällen zu interpretieren ist. Der Kaskadenfall ist eigentlich der interessantere. Da die Filter zueinander invers sind, ist die Phase und damit die Gruppenverzögerung des einen die negative des anderen. Bei Frequenzen, bei denen ein Filter eine positive Gruppenverzögerung aufweist, weist der andere eine negative Gruppenverzögerung auf. Ein einfaches Beispiel wäre ein niedriges Regal mit + 6 dB Verstärkung und ein niedriges Regal mit 6 dB Schnitt. Negative Gruppenverzögerungen sind also sehr real und sicherlich keine Verletzung der Kausalität. In der Praxis treten diese in Bereichen des Filters auf, die ziemlich "nicht flach" sind, so dass die traditionelle Interpretation der "Verzögerung der Hüllkurve" nicht ganz zutrifft, da es auch eine angemessene Menge an Amplitudenverzerrungen gibt.

Wenn Sie Google "negative Gruppenverzögerung" verwenden, finden Sie einige IEEE-Artikel, die sich mit dem Thema befasst haben.

Hilmar
quelle

Ok, aber der Teil, der verwirrend ist, ist, dass beide Filter eine positive Gruppenverzögerung haben, aber zusammen einen Ausgang mit einer Gruppenverzögerung von Null erzeugen.

Endolith

3

Denken Sie daran, dass die Gruppenverzögerung die (negative) Ableitung der Phase ist. Bei einer parallelen Kaskade addieren sich die Phasen der beiden Systeme nicht wie bei einer Reihenschaltung. Daher sollten wir nicht erwarten, dass sich die Gruppenverzögerungen der beiden Systeme ebenfalls erhöhen.

Jason R

2

Hier ist eine andere Möglichkeit, darüber nachzudenken. Die Gruppenverzögerung ist dieselbe, aber die verzögerten Teile sind phasenverschoben, sodass sie sich gegenseitig aufheben.

Hilmar

1

Es gibt keine falsche Anwendung der Gruppenverzögerung oder eine Verletzung der Physik oder der Kausalität bei diesem Problem. Die Definition der Gruppenverzögerung als negative Ableitung der Phase in Bezug auf die Frequenz gilt weiterhin, da jedes Filter für sich eine positive Zeitverzögerung aufweist, die über die Frequenz nicht konstant ist. Die Details zeigen sich darin, was passiert, wenn Filter parallel oder in Reihe geschaltet werden.

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$A_1 e^{j\phi_1}$ $A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$

Betrachten Sie den ersten Fall im Lichte der Frage des OP. An der Kreuzung hat jedes Filter eine Größe und Phase, die wie folgt angegeben sind:

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Und bei der höchsten Frequenz hat jedes Filter eine Größe und Phase, die wie folgt angegeben ist:

$\rightarrow \infty$ $1e^{j0}$

$\rightarrow \infty$ $0e^{-j\pi}$

$-\pi$ $\infty$

Was dazwischen passiert, erfordert eine spezielle mathematische Beziehung zwischen den beiden Filtern, damit sich die Parallelkombination zu einer Nullphase summiert (und daher eine Gruppenverzögerung von Null, wodurch die Parallelkombination im Wesentlichen auch transparent wird). Betrachten Sie das Beispiel des OP, bei dem wir deutlich sehen können, dass in der Phase der beiden Filter eine Quadraturbeziehung besteht. So haben wir:

A_{1} e^{j ϕ_{1}} + A_{2} e^{j ϕ_{2}}

$A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{j\phi_2}$

= A_{1} e^{j ϕ_{1}} + A_{2} e^{j (ϕ_{1} - π / 2})

$=A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{j(\phi_1 - \pi/2})$

= A_{1} e^{j ϕ_{1}} + A_{2} e^{- j π / 2} e^{j ϕ_{1}}

$=A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{-j\pi/2}e^{j\phi_1}$

= A_{1} e^{j ϕ_{1}} - A_{2} j e^{j ϕ_{1}}

$=A_1e^{j\phi_1} - A_2je^{j\phi_1}$

= e^{j ϕ_{1}} (A_{1} - j A_{2})

$=e^{j\phi_1}(A_1-jA_2)$

Damit dieses Ergebnis für alle Frequenzen immer die Nullphase hat, muss die folgende Gleichheit gelten:

A_{1} - j A_{2} = e^{- j ϕ_{1}}

$A_1-jA_2 = e^{-j\phi_1}$

Oder alternativ beschrieben als:

A_{1} + j A_{2} = e^{j ϕ_{1}}

$A_1+jA_2 = e^{j\phi_1}$

$\phi_1$ $A_1 = cos(\phi_1)$ $A_2 = sin(\phi_1)$ $\phi_1$

Betrachten Sie für eine mögliche Intuition mit der endgültigen Darstellung, die das OP zeigte, und seiner Frage, dass die Ableitung eine Hochpassfunktion ist - wenn Sie die Ableitung des roten Impulses nehmen würden, würden Sie den grünen Impuls als Ergebnis erhalten. Sie können dieses Ergebnis erst erhalten, wenn der rote Puls vorhanden ist. Es liegt also keine Verletzung der Kausalität vor.

Dan Boschen
quelle

0

Ich dachte, dies sei eine ziemlich interessante Frage, deshalb werde ich versuchen, sie zu beantworten, wenn auch 5 Jahre zu spät.

Ich denke, Sie haben einen Weg gefunden, einen der Wege zur Messung der Gruppenverzögerung falsch anzuwenden, dh sie als negative Ableitung der Phase zu berechnen. In dieser Situation ist diese Methode nicht geeignet.

In dieser Situation besteht ein geeigneterer Weg zum Messen der Gruppenverzögerung darin, einen Sinuswelleneingang zu verwenden und die Verzögerung zwischen dem Eingang und dem summierten Ausgang zu messen. Um ein vollständiges Bild zu erhalten, müssen Sie natürlich einen Frequenzdurchlauf durchführen, der zwar mühsam, aber genau ist.

Wenn Sie dies tun, können wir uns alle darauf einigen, dass Sie eine Gruppenverzögerung ungleich Null messen werden.

user5108_Dan
quelle

2

Entschuldigung, das stimmt nicht. Die Gruppenverzögerung ist definiert als die negative Ableitung der Phase gegen die Frequenz. Das ist die Definition und kann als solche nicht "falsch angewendet" werden. Was Sie beschreiben, würde tatsächlich die Phasenverzögerung messen, nicht die Gruppenverzögerung. Im Fall eines kaskadierten Tiefpass- und Hochpassfilters erster Ordnung wären die Ergebnisse gleich. Sowohl die Gruppenverzögerung als auch die Phasenverzögerung sind bei allen Frequenzen Null.

Hilmar

2 π / f

$2\pi / f$

3

f / ω

$f/\omega$

\partial f / \partial ω

$\partial f/ \partial \omega$

f / ω

$f/\omega$

1 / (2 π)

$1/(2\pi)$

ω = 2 \cdot π \cdot f

$\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$

0

Die Gruppenverzögerung bezieht sich auf die Gruppe, dh das modulierte Signal. Daher sollte die Messung der Gruppenverzögerung unter Verwendung der Gruppe (moduliertes Signal) erfolgen. Die Gruppe, die in den Filter eintritt, sollte hinsichtlich ihrer Form am Ausgang des Filters dieselbe sein. Die Form bedeutet zB das Spektrum der Gruppe. Messungen, die mit einer einzelnen Frequenz durchgeführt werden, enthalten keine Informationen über die Gruppenverzögerung.

zbyszek
quelle

1

Ich denke nicht, dass das richtig ist. Die Gruppenverzögerung ist das Maß für die Steigung der Phasenantwort bei einer bestimmten Frequenz. Wir berechnen die Gruppenverzögerung bei jeder Frequenz und verwenden über eine Bandbreite die "Gruppenverzögerungsvariation", um anzugeben, um wie viel die Gruppenverzögerung über eine interessierende Bandbreite variieren wird. Wir brauchen natürlich einen Frequenzbereich, in dem wir die Ableitung der Phase berechnen können, aber ich verstehe, dass die berechnete Verzögerung, die auf der Ableitung der Phase in Bezug auf die Frequenz basiert, tatsächlich die Zeitverzögerung ist, die Sie für einzelne Sinuswellen messen würden bei jeder dieser Frequenzen.

Dan Boschen

1

Die Gruppenverzögerung wird als negative Ableitung der Phase gegen die Frequenz definiert. Solange Sie das messen, spielt es keine Rolle, wie genau Sie es messen, und die Ergebnisse sind gleich. Die Gruppenverzögerung kann als Hüllkurvenverzögerung von schmalbandmodulierten Signalen interpretiert werden, aber die Gültigkeit der Interpretation hängt stark von den genauen Umständen ab.

Hilmar

Wie kann ein Filter eine Gruppenverzögerung von Null haben?

Antworten: