Was ist die wahre Bedeutung eines Minimalphasensystems?

Was ist die wahre Bedeutung eines Minimalphasensystems ? Das Lesen des Wikipedia-Artikels und Oppenheim ist eine Hilfe, da wir verstehen, dass für ein LTI- System die minimale Phase bedeutet, dass die Inverse kausal und stabil ist. (Das bedeutet also, dass sich Nullen und Pole innerhalb des Einheitskreises befinden.) Aber was haben "Phase" und "Minimum" damit zu tun? Können wir sagen, dass ein System eine minimale Phase hat, indem wir uns die Phasenantwort der DFT ansehen?

Das Verhältnis von "Minimum" zu "Phase" in einem Minimum-Phasensystem oder Filter kann gesehen werden, wenn Sie die unverpackte Phase gegen die Frequenz zeichnen. Sie können ein Pol-Null-Diagramm des Systemverhaltens verwenden, um eine inkrementelle grafische Darstellung des Frequenzverhaltens und des Phasenwinkels zu erstellen. Diese Methode hilft beim Erstellen eines Phasendiagramms ohne Phasenwicklungsdiskontinuitäten.

Setzen Sie alle Nullen in den Einheitskreis (oder in die linke Halbebene im zeitkontinuierlichen Fall), wobei für die Systemstabilität alle Pole gleich sein müssen. Addieren Sie die Winkel von allen Polen und das Negativ der Winkel von allen Nullen, um die Gesamtphase zu einem Punkt auf dem Einheitskreis zu berechnen, während sich dieser Frequenzgang-Referenzpunkt um den Einheitskreis bewegt. Phase gegen Frequenz auftragen. Vergleichen Sie nun diesen Plot mit einem ähnlichen Plot für ein Pol-Null-Diagramm mit einer der außerhalb des Einheitskreises vertauschten Nullen (nicht minimale Phase). Die durchschnittliche Gesamtsteigung der Linie mit allen Nullen im Inneren ist niedriger als die durchschnittliche Steigung jeder anderen Linie, die dieselbe LTI-Systemantwort darstellt (z. B. mit einer außerhalb des Einheitskreises reflektierten Null). Dies liegt daran, dass die "Aufziehvorgänge" im Phasenwinkel meistens durch die "Aufziehvorgänge" aufgehoben werden.

Diese Anordnung, alle Nullen innerhalb des Einheitskreises, entspricht somit der minimalen Gesamtphasenerhöhung, die einer minimalen durchschnittlichen Gesamtphasenverzögerung entspricht, die einer maximalen zeitlichen Kompaktheit für einen gegebenen (stabilen) Satz von Polen und Nullen mit entspricht die exakt gleiche Frequenzamplitudenantwort. Somit ist die Beziehung zwischen "Minimum" und "Phase" für diese spezielle Anordnung von Polen und Nullen.

Sehen Sie sich auch mein altes Wortbild mit seltsamen Kurbelgriffen im uralten Usenet-Archiv an: https://groups.google.com/d/msg/comp.dsp/ulAX0_Tn65c/Fgqph7gqd3kJ

Wie Sie bereits gesehen haben, hat die Minimalphase viele physikalische Bedeutungen und Implikationen. Woher die Phase kommt, ist, dass sie für eine gegebene Größe des Frequenzgangs dem Filter mit der geringsten Gruppenverzögerung entspricht. Das heißt, Sie können mehrere Filter mit der gleichen Größe des Frequenzgangs haben, aber einer von ihnen kann mit der geringsten Filterverzögerung realisiert werden. In diesem Sinne ist es in Steuersystemen sehr erwünscht, in denen die Filterverzögerung für die Stabilität entscheidend sein kann. Ich missbrauche hier eine Notation, da die Phase "Verzögerung" viele Bedeutungen haben kann, aber das Wesentliche ist da (und für Gruppenverzögerungen ist es eine Tatsache).

In anderen Bereichen, wenn ein System eine minimale Phase ist, hat seine Umkehrung alle seine Pole innerhalb des Einheitskreises und ist kausal. Ein Minimum-Phasensystem hat also eine stabile Inverse. Dies ist in vielen anderen Anwendungen aus offensichtlichen Gründen wichtig. Wenn Sie ein lineares Gleichungssystem lösen müssen, stellt das Wissen, dass das System eine minimale Phase aufweist, sicher, dass seine Inverse eine minimale Phase ist, sodass die Stabilität (außerhalb von Quantisierungseffekten) gewährleistet ist.

Es ist möglicherweise nicht offensichtlich, ob ein System eine Mindestphase ist, wenn man sich die DFT ansieht. Es gibt eine Beziehung zwischen der Größe eines minimalen Phasensystems und seiner Phase, die jedoch möglicherweise visuell nicht offensichtlich ist. Adaptive Gitterfilter haben jedoch das nette Merkmal, dass Minimalphasenfilter leicht identifiziert werden können, wenn alle Reflexionskoeffizienten kleiner oder gleich eins sind. Auf diese Weise können adaptiv berechnete Filter bestimmt werden, wenn sie mit wenig Logik im laufenden Betrieb stabil sind.

lesen

Dieses Papier scheint einige Weisheiten zum Thema Minimalphasensysteme zu haben:

• John Bechhoefer, " Kramers-Kronig, Bode und die Bedeutung von Null ", American Journal of Physics 79 , 10 (2011).