Was ist bei der Auswahl einer Fensterfunktion beim Glätten einer Zeitreihe zu beachten?

25

Wenn man eine Zeitreihe mit einer Fensterfunktion wie Hanning, Hamming, Blackman usw. glätten möchte, was sind die Überlegungen, um ein Fenster einem anderen vorzuziehen?

babelproofreader
quelle

Antworten:

23

Die zwei Hauptfaktoren, die eine Fensterfunktion beschreiben, sind:

  1. Breite der Hauptkeule (dh bei welchem ​​Frequenzbereich ist die Leistung halb so groß wie die maximale Antwort)
  2. Dämpfung der Nebenkeulen (dh wie weit unten die Nebenkeulen von der Hauptkeule entfernt sind). Dies informiert Sie über die spektrale Leckage im Fenster.

Ein weiterer nicht so häufig berücksichtigter Faktor ist die Abschwächungsrate der Nebenkeulen, dh wie schnell die Nebenkeulen absterben.

Hier ein kurzer Vergleich für vier bekannte Fensterfunktionen: Rectangular, Blackman, Blackman-Harris und Hamming. Die Kurven unten sind 2048-Punkt-FFTs von 64-Punkt-Fenstern.

Bildbeschreibung hier eingeben

Sie sehen, dass die Rechteckfunktion eine sehr schmale Hauptkeule hat, die Nebenkeulen sind jedoch mit ~ 13 dB recht hoch. Andere Filter haben deutlich dickere Hauptkeulen, schneiden jedoch bei der Unterdrückung von Nebenkeulen wesentlich besser ab. Am Ende ist alles ein Kompromiss. Man kann nicht beides haben, man muss eins auswählen.

Daher hängt die Auswahl der Fensterfunktion in hohem Maße von Ihren spezifischen Anforderungen ab. Wenn Sie beispielsweise versuchen, zwei Signale zu trennen / zu identifizieren, deren Frequenz relativ nahe beieinander liegt, deren Stärke jedoch ähnlich ist, sollten Sie das Rechteck auswählen, da es Ihnen die beste Auflösung bietet.

Wenn Sie andererseits versuchen, dasselbe mit zwei Signalen unterschiedlicher Stärke mit unterschiedlichen Frequenzen zu tun, können Sie leicht erkennen, wie Energie von einem Signal durch die hohen Nebenkeulen eindringen kann. In diesem Fall würde es Ihnen nichts ausmachen, eine der dickeren Hauptkeulen zu verwenden, und Sie würden einen leichten Auflösungsverlust hinnehmen, um ihre Potenzen genauer einschätzen zu können.

In der Seismik und Geophysik werden häufig Slep'sche Fenster (oder diskrete prolate sphäroidale Wellenfunktionen, die Eigenfunktionen eines Sinuskerns) verwendet, um die in der Hauptkeule konzentrierte Energie zu maximieren.

Lorem Ipsum
quelle
2
"zwei Signale, die in der Frequenz ziemlich nahe beieinander liegen ... Sie sollten das Rechteck wählen" Rechts, obwohl es normalerweise besser ist, einfach die Fenstergröße zu erhöhen und dann ein Hann / Gauss / Hamming / ... Fenster zu verwenden, wenn Sie ein schmales Hauptfenster benötigen Lappen. Rechteckig ist in seinen Seitenlappen wirklich ziemlich schrecklich und eignet sich auch nicht gut für überlappende Fenster, die mit Hann großartig funktionieren. (Das ist natürlich nur dann nützlich, wenn Sie es sich leisten können, große überlappende Fenster zu berechnen.)
leftaroundabout
1
@leftaroundabout Natürlich, aber normalerweise werden Vergleiche für feste Fenstergrößen durchgeführt. Es ist ziemlich unfair, ein Fenster einer Größe mit einem anderen Fenster einer anderen Größe zu vergleichen. Ja, das Rechteck ist größtenteils beschissen, aber es hat in einigen Fällen Verwendung. Für das OP: Ich habe eine kurze, kurze und nicht mathematische Erklärung zu Windows hier auf Stack Overflow . Vielleicht finden Sie es und die darin enthaltenen Links (ich habe auf Harris 'Artikel
verwiesen
@LoremIpsum was genau du meinst, wenn du die Anweisung "2048-Punkt-FFTs von 64-Punkt-Fenstern" befolgst. .. bitte vorschlagen ?
user6363
1

Ihre Frage ist etwas verwirrend, da das Glätten einer Zeitreihe normalerweise nicht im selben Kontext wie das Fenster verwendet wird.

Sie meinen wahrscheinlich, dass das Fenster einer Zeitreihe den Frequenzgang glättet (oder verschmiert). Eine Beschreibung der Eigenschaften der am häufigsten verwendeten Windows- und Design-Kompromisse finden Sie in nahezu jedem DSP-Buch, und das Wiki behandelt das Thema auch unter http://en.wikipedia.org/wiki/Window_function . Es gibt ein Kriterium für die Auswahl einer Fensterfunktion, die ich noch nicht in einem DSP-Buch beschrieben habe, zusätzlich zu den herkömmlichen Kriterien für die Hauptkeulenbreite und die Nebenkeulendämpfung. In einigen Anwendungen wird beispielsweise ein Hamming-Fenster bevorzugt, da Sie beim FFT eines Hamming-Fensters nur 3 Taps ungleich Null erhalten!

Natürlich können Sie eine Zeitreihe glätten, indem Sie sie mit einer Fensterfunktion filtern, da eine Fensterfunktion eine Tiefpasseigenschaft hat. Aber das ist wahrscheinlich nicht das, wonach du fragst.

Niaren
quelle
@leftaroundabout: "" zwei Signale, die in der Frequenz ziemlich nahe beieinander liegen ... Sie sollten das rechteckige "Right" wählen, obwohl es normalerweise besser ist, einfach die Fenstergröße zu erhöhen und dann ein Hann / Gauss / Hamming / ... - Fenster zu verwenden, wenn Sie brauchen schmale Hauptkeulen. Rechteckig ist in seinen Nebenkeulen wirklich ziemlich schrecklich und eignet sich auch nicht gut für überlappende Fenster, was bei Hann sehr gut funktioniert. (Das ist natürlich nur nützlich, wenn Sie es sich leisten können, große überlappende Fenster zu berechnen.) ". Können Sie erklären, warum das Überlappen mit Hann besser funktioniert als mit anderen Fenstern?
Niaren
Diese Aussage sollte nicht exklusiv sein. Eine Erfahrung, die ich gemacht habe, ist, dass Hann unter den von mir getesteten Fenstern am besten funktioniert, aber es kann auch Fälle geben, in denen andere Fenster bessere Arbeit leisten. Es ist kaum mehr als eine vage heuristische Vermutung von mir, dass cosinusbasierte Fenster aufgrund von $ \ cos ^ 2 + \ sin ^ 2 = 1 $ im Allgemeinen die beste Überlappungsleistung bieten sollten ; Transienten werden also unabhängig von der Stelle, an der sie überlappen, ziemlich gleich stark registriert.
links um ca.
Vielen Dank. Ich bin mir nicht sicher, ob ich dein Beispiel verstehe. Wie auch immer, ich dachte, Sie haben darauf hingewiesen, dass ein zu 50% überlappendes Hann-Fenster eine perfekte Rekonstruktion ergibt.
Niaren