Kapazität des AWGN-Kanals

Ich bin verwirrt, wenn ich grundlegende Konzepte der Kommunikation über AWGN-Kanäle verstehe. Ich weiß, dass die Kapazität eines zeitdiskreten AWGN-Kanals ist:

$$C=\frac{1}{2}\log_2\left(1+\frac{S}{N}\right)$$ und es wird erreicht, wenn das Eingangssignal eine Gaußsche Verteilung hat. Aber was bedeutet es, dass das Eingangssignal Gaußsch ist? Bedeutet dies, dass die Amplitude jedes Symbols eines Codeworts einem Gaußschen Ensemble entnommen werden muss? Was ist der Unterschied zwischen der Verwendung eines speziellen Codebuchs (in diesem Fall Gauß) und der Modulation des Signals mit M-ary-Signalen, beispielsweise MPSK?

Angenommen, ein Kanal, dessen Eingabe zu jedem Zeitpunkt eine kontinuierliche Zufallsvariable und dessen Ausgabe , wobei und unabhängig von , dann ist ist die Kapazität des kontinuierlichen Eingangskanals unter der Leistungsbeschränkung Die gegenseitige Information wird maximiert (und ist gleich ), wenn .Y = X + Z Z ≤ N ( 0 , N ) Z X C CI-AWGN = $X$$Y=X+Z$$Z\sim\mathcal{N}(0,N)$$Z$$X$EX2≤PI(X;Y)CCI-AWGNX~N(0,P

$$C_{\text{CI-AWGN}}=\frac{1}{2}\log_2\left(1+\frac{P}{N}\right)$$ $$\mathsf{E}X^2\le P$$ $I(X;Y)$$C_{\text{CI-AWGN}}$$X\sim\mathcal{N}(0,P)$

Dies bedeutet, dass wenn eine kontinuierliche Gaußsche Zufallsvariable mit der gegebenen Varianz ist, die Ausgabe die höchstmögliche gegenseitige Information mit der Eingabe hat. Das ist es!$X$

Wenn die Eingangsvariable diskretisiert (quantisiert) wird, ist eine neue Formulierung erforderlich. In der Tat können die Dinge leicht schwierig werden. Um es ein wenig zu sehen, kann man den einfachen Fall einer sehr groben Diskritisierung von X betrachten, bei der es nur zwei Werte haben kann. Nehmen wir also an, dass X aus einem binären Alphabet ausgewählt ist, lassen Sie beispielsweise X ∈ { ± 1 } (oder eine skalierte Version, um eine Leistungsbeschränkung zu erfüllen). In Bezug auf die Modulation ist es identisch mit BPSK.$X$$X$$X$$X\in\{\pm1\}$

Es stellt sich heraus, dass die Kapazität (auch in diesem einfachen Fall) keine geschlossene Form hat. Ich berichte aus "Modern Coding Theory" von Richardson und Urbanke:

Ein Vergleich zwischen den beiden Fällen ist in der folgenden Abbildung zu sehen:

$$\begin{align}C&_{\text{BI-AWGN}}=1+\\&\frac{1}{\ln(2)} \left(\left(\frac{2}{N}-1\right)\mathcal{Q}\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\right)-\sqrt{\frac{2}{\pi N}}e^{-\frac{1}{2N}}+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^i}{i(i+1)}e^{\frac{2i(i+1)}{N}}\mathcal{Q}\left(\frac{1+2i}{\sqrt{N}}\right)\right)\end{align}$$

Die Kapazitätsformel ist für einen diskreten Zeitkanal.

$$C = 0.5 \log (1+\frac{S}{N}) \tag{1}$$

Angenommen, Sie müssen eine Folge von Daten senden, benötigen Sie einen orthonormalen Wellenformsatz { ϕ n ( t ) } für die Modulation. Bei der linearen Modulation, zu der die M-ary-Modulation gehört, ist ϕ n ( t ) = ϕ ( t - n T ), wobei T die Symboldauer und ϕ ( t ) die Prototypwellenform ist, so dass das zeitkontinuierliche TX-Signal des Basisbandes x ( t) wird ) = ∑$\left\lbrace a_n \right\rbrace$$\left\lbrace \phi_n(t) \right\rbrace$$\phi_n(t) = \phi(t - nT)$$T$$\phi(t)$

$$x(t) = \sum_n a_n \phi(t-nT) \tag{2}$$

Typische Modulationen verwenden den Sonderfall, dass das Nyquist ISI-Kriterium mit angepasstem Filter erfüllt , um ein n wiederherzustellen . Ein bekanntes ϕ ( t ) ist Root Raised Cosine .$\left\lbrace \phi_n(t) \right\rbrace$$a_n$$\phi(t)$

Der kontinuierliche AWGN-Kanal ist ein Modell, bei dem

$$y(t) = x(t) + n(t) \tag{3}$$

wobei ein Gaußscher weißer stochastischer Prozess ist.$n(t)$

Aus (2) können wir sehen, dass die Projektion von x ( t ) auf { ϕ n ( t ) } ist . Machen Sie dasselbe mit n ( t ) , die Projektionen von n ( t ) auf einem orthonormal Satz ist eine Folge von iid Gaußsche Zufallsvariablen w n = ⟨ n ( t ) , φ n ( t ) ⟩ (ich glaube wirklich , dass n ( t $a_n$$x(t)$$\left\lbrace \phi_n(t) \right\rbrace$$n(t)$$n(t)$$w_n = \langle n(t),\phi_n(t) \rangle$$n(t)$wird aus seinen Projektionen definiert); und Aufruf . Voilà, wir haben ein äquivalentes diskretes Zeitmodell y n = a n + w $y_n = \langle y(t),\phi_n(t) \rangle$

$$y_n = a_n + w_n \tag{4}$$

Die Formel (1) ist angegeben für und N sind Energie (Varianz, wenn a n und w n der Mittelwert Null sind) von a n bzw. w n . Wenn a n und w n Gaußsch sind, ist y n es auch und die Kapazität wird maximiert. (Ich kann einen einfachen Beweis hinzufügen, wenn Sie wollen).$S$$N$$a_n$$w_n$$a_n$$w_n$$a_n$$w_n$$y_n$

Was bedeutet es, dass das Eingangssignal Gaußsch ist? Bedeutet dies, dass die Amplitude jedes Symbols eines Codeworts einem Gaußschen Ensemble entnommen werden muss?

Es bedeutet, dass Zufallsvariablen Gaußsch sind.$a_n$

Was ist der Unterschied zwischen der Verwendung eines speziellen Codebuchs (in diesem Fall Gauß) und der Modulation des Signals mit M-ary-Signalen, beispielsweise MPSK?

$\phi_n(t)$$w_n$

$a_n$

Zu sagen, dass das Eingangssignal eine Gaußsche Verteilung hat, bedeutet, dass es als Gaußsche Zufallsvariable verteilt ist. In der Praxis verlässt man sich auf das Codieren über mehrere Instanzen des Kanals (in der Zeit), anstatt sich auf eine Gaußsche Eingangsverteilung zu verlassen. Es gibt eine schöne Theorie voller Beweise, die den Rahmen dieser Antwort sprengt (Informationstheorie). Fehlersteuerungscodes (oder Kanalcodes) beruhen normalerweise auf der Verwendung bekannter QAM / PSK-Modulationen, aber durch die Redundanz des Codes und die Verwendung mehrerer Kanäle können sie sich der Kanalkapazität nähern (wenn auch nicht ganz erreichen). Als nächstes wird eine Skizze der Argumentation (ohne vollständige Details) bereitgestellt.

$$C = \sup_{p_X(x)} I(X; Y)$$ $X$$Y$$I(\cdot,\cdot)$$X$$Y$$p_X(x)$ $$Y = X + Z$$ $Z$$\sigma_Z^2$$\sigma_Z^2=N$$\sigma_X^2=S$$X$$I(X;Y)$$X$$Y$