Tiefpassfilter erster Ordnung

Ich versuche, den Tiefpassfilter erster Ordnung besser zu verstehen:

Zusammenfassung :

Laut Wikipedia liefert ein Tiefpassfilter erster Ordnung in diskreter Zeit Folgendes:

$$\frac{Y(s)}{U(s)}= \frac{\omega_{c}}{s+\omega_{c}}$$ ergibt $$y[k] = \left(\frac{\omega_c T_{s}}{1+\omega_{c} T_{s}} \right) u[k]+\left(\frac{1}{1+\omega_c T_{s}}\right) y[k-1]$$ oder $$y[k] =\alpha \, u[k] \ + \ (1 - \alpha)y[k-1]$$

wo

$\begin{array}{cclc} \omega_{c} &:& \text{Cutoff angular frequency of filter} & [\frac{rad}{s}] \\ T_{s} &:& \text{Sampling period} & [s] \\ \end{array}$

Frage 1 :

Obwohl sich dieser Filter in diskreter Zeit befindet, modelliert er dennoch ein Analog ($s$-Fläche) Filter?

• Wenn ich ein diskretes Computersystem verwenden
  möchte , um in Echtzeit zu filtern, müsste ich das digitale ($z$-Ebene) äquivalent?
• Wenn ja, wie wird dies allgemein durchgeführt?
  Meine beste Vermutung ist:
  1. Bestimmen Sie die digitale Grenzfrequenz $\omega_d$.
  2. In analoge Grenzfrequenz umwandeln $\omega_a = \frac{2}{T} \cdot \mathrm{tan}(\omega_d \cdot \frac{T}{2})$.
  3. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion für das analoge Filter (Tiefpass erster Ordnung)
     anhand der analogen Grenzfrequenz$\omega_a$.
  4. Transformation zur Übertragungsfunktion für Digitalfilter
     mit bilinearer Transformation$z = \frac{2}{T} \cdot \frac{z-1}{z+1}$

Beziehung zur exponentiellen Glättung :

Auf derselben Seite wird auf die exponentielle Glättung verwiesen.
Die Seite zur exponentiellen Glättung beschreibt einen exponentiell gewichteten Durchschnitt wie folgt:

$$y[k] =\alpha u[k]+\left(1 - \alpha\right)y[k-1]\quad\text{where}\quad\alpha = 1 - e^{-\omega_{c} \cdot T_{s}}$$

Frage 2 :

Wie ist es möglich, das Tiefpassfilter Alpha erster Ordnung
mit dem exponentiellen Glättungs-Alpha in Beziehung zu setzen ?

Um Ihre erste Frage zu beantworten, müssen Sie das Signal in die Z-Ebene umwandeln. Die bi-lineare Transformation ist eine Möglichkeit, das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Sie können sogar Impulse Invariant Transform ausprobieren, um den analogen Filter in einen digitalen Filter umzuwandeln.

Der Filter im digitalen Bereich hat natürlich eine Entsprechung im analogen Bereich. Das Verhalten der analogen Domäne unterscheidet sich jedoch von dem analogen Filter, das über eine bilineare Transformation entspricht, aufgrund von Frequenzverzerrungen: Die Dämpfung geht zu$-\infty$ wenn sich das Signal der Nyquist-Frequenz nähert und nicht, wenn sich das Signal unendlichen Frequenzen nähert.

Bei der Beantwortung der ersten Frage müssen Sie das Signal nicht unbedingt in die z-Domäne konvertieren, aber das ist wahrscheinlich die häufigste Vorgehensweise. Eine Alternative besteht darin, den diskretisierten Frequenzgang des Filters zu berechnen und die DFT (FFT) des Eingangssignals damit zu multiplizieren und dann die inverse DFT (FFT) zu nehmen. Ich mache dies oft in meinen Audio-Plugins für Filter, deren Reihenfolge höher als zwei ist, um Stabilität zu gewährleisten, insbesondere wenn sich die Filterparameter ändern.