Ersetzen von "e" in Eulers Formel durch eine andere Zahl

Bleibt die Euler-Formel gültig, wenn wir eine andere reelle Zahl als die Konstante $e$ ? Wenn Sie beispielsweise $e$ durch 5 ersetzen, sieht die Formel folgendermaßen aus: $5^{it}$ .

Ich habe diese Idee in Matlab ausprobiert und $e$ durch wenige andere reelle Zahlen (z. B. 1,5, 10, 2,1) ersetzt, und jedes Mal zeigte die Darstellung immer noch, was wie Kosinus- und Sinuswellen schien. Die Frequenz von cos und sin änderte sich je nach Basis.

Hier ist ungefähr mein Ansatz:

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

Angenommen, Sie interessieren sich für Man beachte, dass M = e log M ist , so dass ( 1 ) geschrieben werden kann als

$$M^{j2\pi f_0 t}. \tag{1}$$ $$M = e^{\log M},$$ $(1)$

die eine komplexe Sinuskurve mitFrequenz istf0logM. Deshalb führt die Verwendung vonManstelle vonezu einer Änderung der Frequenz.

$$\begin{align} M^{j2\pi f_0 t} &= \left( e^{\log M} \right) ^ {j2\pi f_0 t} \\ &= e^{j2\pi (f_0\log M) t} \\ &= \cos(2\pi (f_0\log M) t) + j \sin(2\pi (f_0\log M) t), \end{align}$$ $f_0 \log M$$M$$e$

Das ist eine interessante Frage. Mal sehen, welche komplexen Zahlen ungleich Null die Eigenschaft haben, dass sie in der klassischen Formel "wie e " wirken , dh dass e z = w z für alle Komplexe$w$$e$

$$e^z = w^z$$ . Nehmen wir zur Vereinfachung an, wir können w = r e i t schreiben$z=x+iy$ $$w=re^{it}$$

$w^z$

$$w^z =e^{z\log w} = e^{(x+iy)(\overbrace{\ln r + it + 2k\pi i}^{\textrm{possible values of $\log w$}})} =e^{(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)}$$

$e^z=w^z$

$$(x+yi)-[(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)] = 2\pi n i$$ $n$ $$\begin{cases}x=x\ln r - yt-2k\pi y\\y=y\ln r + xt +2k\pi x + 2\pi n \end{cases}$$ $z$$x,y$$r=e$$t=k=n=0$

$w =e\cdot e^{0i}=e$$w$

$a= e^{ln(a)}$$e^x$

$$a^{it}= e^{\ln(a^{it})}= e^{it \ln(a)}$$ $$a^{it}= e^{i (t \ln(a))}= \cos(t \ln(a))+ i \sin(t \ln(a)).$$