Verwenden von diskreten Wavelet-Transformationen für kontinuierliche Verse in digitalen Anwendungen

Ich kenne viele mathematische Hintergründe von Wavelets. Bei der Implementierung von Algorithmen auf einem Computer mit Wavelets bin ich mir jedoch weniger sicher, ob ich kontinuierliche oder diskrete Wavelets verwenden soll. In der Realität ist natürlich alles auf einem Computer diskret, so dass es offensichtlich ist, dass diskrete Wavelets die richtige Wahl für die digitale Signalverarbeitung sind. Jedoch nach wikipedia es ist die kontinuierliche Wavelet - Transformation in erster Linie , dass in (digital) Bildkompression als eine große Anzahl als auch digitaler Daten von anderen Aktivitäten Verarbeitung verwendet wird. Was sind die Vor- und Nachteile bei der Entscheidung, ob eine (ungefähre) kontinuierliche Wavelet-Transformation anstelle einer (genauen) diskreten Wavelet-Transformation für die digitale Bild- oder Signalverarbeitung verwendet werden soll?

PS (Überprüfung einer Annahme hier) Ich gehe davon aus, dass kontinuierliche Wavelet-Transformationen in der digitalen Verarbeitung verwendet werden, indem einfach der Wert des kontinuierlichen Wavelets an gleichmäßig beabstandeten Punkten genommen und die resultierende Sequenz für Wavelet-Berechnungen verwendet wird. Ist das richtig?

PPS In der Regel ist Wikipedia in Bezug auf Mathematik ziemlich genau. Daher gehe ich davon aus, dass es sich bei den Anwendungen im Artikel über kontinuierliche Wavelet-Transformationen tatsächlich um Anwendungen der kontinuierlichen Wavelet-Transformation handelt. Sicherlich werden einige erwähnt, die spezifisch CWT sind, so dass CWT eindeutig in digitalen Anwendungen zum Einsatz kommt.

Wie Mohammad bereits sagte, sind die Begriffe Kontinuierliche Wavelet-Transformationen (CWT) und Diskrete Wavelet-Transformationen (DWT) etwas irreführend. Sie beziehen sich ungefähr als (kontinuierliche) Fouriertransformation (die mathematische Integraltransformation) auf DFT (diskrete Fouriertransformation).

Um die Details zu verstehen, ist es gut, den historischen Kontext zu sehen. Die Wavelet-Transformation wurde ursprünglich von Morlet in der Geophysik eingeführt und war im Grunde eine Gabor-Transformation mit einem Fenster, das mit der ausgewählten Skala / Frequenz wächst und schrumpft. Später erkannte Daubchies (ein Physiker aus Belgien), dass durch die Wahl spezieller orthogonaler Wavelet-Basen die unendlich redundante CWT kritisch auf einem dyadischen Gitter abgetastet werden kann. Aus der resultierenden DWT kann die entsprechende vollständige CWT erhalten werden, indem die DWT mit dem Wiedergabekern des jeweiligen Wavelets gefaltet wird. Der Wiedergabekern ist die CWT des Wavelets selbst.

Daubchies Entdeckungen gaben der Wavelet-Theorie in den frühen 80er Jahren einen großen Schub. Das nächste große Ergebnis war, dass die DWT sehr effizient berechnet werden kann (dies wird manchmal auch als FWT [schnelle WT] bezeichnet), indem Techniken aus der Theorie der Filterbanken, nämlich Quadraturspiegelfilter (QMF) zusammen mit Downsampling-Filterbanken, verwendet werden. Durch die Erstellung spezieller QMFs kann die entsprechende DWT durch Filtern und Downsampling berechnet werden. Dies ist der neueste Algorithmus zur Berechnung von DWTs. Sie benötigen die Skalierungsfunktion nicht, um die DWT zu berechnen, sondern es handelt sich lediglich um ein Implementierungsdetail, das von FWT verarbeitet wird.

Auf der Anwendungsseite ist das CWT aufgrund seiner feinkörnigeren Auflösung der idealere Kandidat für die Signal- oder Zeitreihenanalyse und wird normalerweise bei den meisten Aufgaben (z. B. Singularitätserkennung) ausgewählt. Die DWT ist im Zusammenhang mit schnellen, nicht redundanten Transformationen von größerem Interesse. Der DWT hat eine sehr gute Energieverdichtung und ist daher ein guter Kandidat für verlustbehaftete Kompressionen und Signalübertragungen.

Hoffe das hat die Dinge geklärt.

Eine sehr häufige, aber unglückliche Fehlkonzeption auf dem Gebiet der Wavelets hat mit der falsch geprägten Terminologie der "Continuous Wavelet Transforms" zu tun.

Das Wichtigste zuerst: Die kontinuierliche Wavelet-Transformation (Continuous Wavelet Transform, CWT) und die diskrete Wavelet-Transformation (Discrete Wavelet Transform, DWT) sind Punkt-für-Punkt-Transformationen, die auf einem Computer problemlos implementiert werden können.

Der Unterschied zwischen einer "kontinuierlichen" Transformation und einer "diskreten" Transformation im Wavelet-Kontext ergibt sich aus:

1) Die Anzahl der Samples, die übersprungen wurden, wenn Sie ein Signal mit Ihrem Wavelet kreuzkorrelieren.

2) Die Anzahl der Samples, die beim Erweitern des Wavelets übersprungen wurden.

3) Die CWT verwendet nur ein Wavelet, während die DWT sowohl ein Wavelet als auch ein Scale-Let verwendet. (Nicht wichtig für diese Diskussion, aber hier der Vollständigkeit halber).

Aber machen Sie keinen Fehler - ein CWT ist genau wie ein DWT zu jeder Zeit eine diskrete, digitale Operation.

Lassen Sie dieses Beispiel dies veranschaulichen: Betrachten Sie das Haar-Wavelet [1 -1]. Nehmen wir an, wir wollten eine DWT mit dem Haar Wavelet machen. Sie falten also Ihr Signal mit dem Haar-Mutter-Wavelet [1 -1], jedoch nur mit dyadischen Verzögerungen. Angenommen, Ihr Signal ist der folgende Vektor:

Das erste Ergebnis der DWT-Faltung mit Ihrem Haar Wavelet ist:

Der nächste ist:

Und schließlich ist der letzte:

Kommt Ihnen etwas komisch vor? Ich sagte, nimm die Faltung deines Signals mit dem Wavelet - warum bekomme ich dann nur vier Werte? Dies liegt daran, dass ich Samples überspringe , wenn ich im DWT Faltungen vornehme. Ich habe zuerst [1 2] genommen, ein Skalarprodukt gemacht und dann [3 4] genommen. Was ist mit [2 3] passiert? Ich habe es übersprungen.

Wann überspringst du es nicht? Wenn Sie einen CWT machen. Wenn Sie eine CWT durchführen würden, wäre dies eine "normale" digitale Faltung Ihres Signals mit dem Haar-Wavelet.

Das zweite ist die Art und Weise, wie Sie Ihr Wavelet erweitern. Im obersten Beispiel ist das Haar-Wavelet [1 -1] für die Zerlegung der ersten Ebene. In der zweiten Ebene wird das DWT Haar Wavelet [1 1 -1 -1]. In der CWT ist das Haar-Wavelet der zweiten Ebene jedoch [1 0 -1]. Auch in der DWT expandiere ich nicht Punkt für Punkt - ich habe nie ein Wavelet mit drei Längen. In der CWT bin ich jedoch von Länge 2 zu Länge 3 übergegangen. In der DWT bin ich direkt von Länge 2 zu Länge 4 übergegangen.

Das ist das Lange und Kurze, hoffe das hat geholfen.