Wie wurden Fenster ursprünglich konzipiert?

Mir sind die gängigen Fenstertypen (Hamming, Hanning, Kaiser, Tukey usw. usw.) bekannt. Viele Bücher beschreiben sie, aber kaum eines sagt mir, wie genau sie abgeleitet wurden.

Was ist an dem Hamming-Fenster so heilig? Was ist mit dem Hanning? Ich verstehe, dass sie alle vom Verhältnis der Hauptkeulenbreite zur Nebenkeulendämpfung abhängen, aber wie genau wurden sie abgeleitet?

Die Motivation für meine Frage liegt darin, dass ich herauszufinden versuche, ob man seine eigenen Fenster entwerfen kann, die auch die Hauptkeulenbreite und die Nebenkeulenenergie ausspielen.

Dies ist nur eine teilweise Antwort, aber es gibt einen Online-Vortrag, in dem Hamming darüber spricht, wie er zu seinem gleichnamigen Fenster gekommen ist. Ab ca. 15:15 gibt es den vollen Kontext.

Mit einer einigermaßen unterhaltsamen Geschichte schreibt er John Tukey die Erfindung der Fenstertheorie (für die Spektrumanalyse) zu. Er führt jedoch das gesamte Thema in den Kontext der Verwendung von Lanczos-Sigma-Faktoren ein , um das Gibbs-Phänomen zu reduzieren . Darüber hinaus beschreibt er in The Art of Doing Science and Engineering (basierend auf den gleichen Vorlesungen), wie sein Fenster eine Variation des Hann-Fensters ist , das seiner Ansicht nach von Hann in der Wirtschaft verwendet wurde (lange vor seiner Anwendung in der Signalverarbeitung) ). Das lässt vermuten, dass die Geschichte viel weiter zurückreicht, je nachdem, wie Sie sie definieren möchten.

Das Buch, in dem Tukey das Hamming-Fenster zum ersten Mal nannte, ist Die Messung von Leistungsspektren aus Sicht der Nachrichtentechnik . Angesichts von Hammings Behauptung, Tukey habe die Fenstertheorie erfunden, wäre dies wahrscheinlich ein guter Ausgangspunkt für ein tieferes Verständnis der Gestaltung neuer Fenster. Ich denke, das Buch ist nur eine Neuauflage von Teil I und Teil II seines Artikels im Bell System Technical Journal, es ist also online verfügbar.

Hier ist eine weitere Teilantwort, die sich hauptsächlich mit dem Entwerfen benutzerdefinierter Fenster befasst. Ich habe mir das ausgedacht, als ich etwas gemacht habe, das (wie ich jetzt weiß, aber damals nicht) als "Fensterung im Frequenzbereich" bezeichnet wird. Nachdem ich einige Originalarbeiten zum Fensterbau gelesen hatte, stellte ich fest, dass es wahrscheinlich die Art und Weise war, wie einige Fenster ursprünglich konzipiert wurden, aber ich habe kein wirkliches Hintergrundwissen.

Beginnen Sie mit einem rechteckigen Fenster und betrachten Sie seine Fourier-Transformation, die sinc-Funktion:

Skalieren und (frequenz-) verschieben Sie nun zwei davon, sodass sich die Nebenkeulen gegenseitig aufheben, wenn Sie sie addieren:

(Ergebnis in grün; Entschuldigung für die schlechte Qualität und nutzlose Legende.)

Wie Sie sehen, werden Nebenkeulen nicht nur generell reduziert, sie rollen auch viel schneller ab.

$\cos(\pi t)$

Wiederholen Sie diesen Vorgang, und Sie erhalten ein besseres und besseres Roll-Off auf Kosten einer breiteren Hauptkeule:

$(\cos(\pi t))^2$$n$$(\cos(\pi t))^n$$n=4$$n$

Unter den Blackman-Harris-Fenstern liefern diese das schnellste Abrollen der Nebenkeulen. (Ich habe angefangen, einen Beweis dafür aufzuschreiben, habe ihn aber noch nicht fertiggestellt, da die Berechnung des Abrollens und anderer Parameter unter Experten allgemein bekannt zu sein scheint.)

Wenn Sie etwas anderes als das Abrollen optimieren möchten, können Sie mit einem Fenster beginnen, das über ein ausreichendes Abrollen verfügt. Führen Sie dann eine ähnliche Aktion wie oben aus, skalieren und verschieben Sie das Fenster jedoch anders (normalerweise mit drei statt zwei Begriffen). . Dadurch bleibt der Abrollvorgang exakt gleich, Sie können jedoch beispielsweise die ersten Nebenkeulen reduzieren.

Hoffe das hilft. Habe Spaß.

Die meisten bekannten Fenster wurden mehr oder weniger ad-hoc entworfen, basierend auf einer Vorstellung von Glätte im Zeitbereich. Soweit ich weiß, gibt es zwei Fenster, die in gewisser Hinsicht optimal sind: Das Chebyshev-Fenster, das den maximalen Nebenkeulenpegel (nicht die Energie!) Minimiert, und das Prolat-Sphäroid-Fenster, das das Energieverhältnis zwischen Hauptkeule und Nebenkeulen maximiert. Es gibt eine interessante Arbeit über Fensterdesign im Frequenzbereich. Es wird ein Algorithmus erörtert, der die Nebenkeulenenergie unter Einschränkungen des maximalen Nebenkeulenpegels minimiert, dh es handelt sich um eine Mischung aus Chebyshev und Prolat-Sphäroid-Fenster. Dies ist das Papier: Ein neues optimales Fenster von JW Adams.