Was sind die Regelmäßigkeitsbedingungen für den Likelihood Ratio-Test?

Kann mir bitte jemand sagen, wie die Regelmäßigkeitsbedingungen für die asymptotische Verteilung des Likelihood Ratio-Tests sind?

Überall, wo ich hinschaue, steht geschrieben "Unter den Regelmäßigkeitsbedingungen" oder "Unter den probabilistischen Regelmäßigkeiten". Was genau sind die Bedingungen? Dass die erste und die zweite Log-Likelihood-Ableitung existieren und die Informationsmatrix nicht Null ist? Oder etwas ganz anderes?

Die erforderlichen Regelmäßigkeitsbedingungen sind in den meisten Zwischenlehrbüchern aufgeführt und unterscheiden sich nicht von denen der mle. Die folgenden betreffen den Ein-Parameter-Fall, ihre Erweiterung auf den Multiparameter-Fall ist jedoch unkompliziert.

Bedingung 1 : Die pdfs sind verschieden, dh $\theta \neq \theta ^{\prime} \Rightarrow f(x_i;\theta)\neq f(x_i;\theta ^{\prime})$

Beachten Sie, dass diese Bedingung im Wesentlichen besagt, dass der Parameter das PDF identifiziert.

Bedingung 2: Die PDFs unterstützen alle $\theta$

Dies impliziert, dass die Unterstützung nicht von θ abhängt$\theta$

Bedingung 3 : Der Punkt , der reale Parameter, ist ein innerer Punkt in einer Menge $\theta_0$$\Omega$

Der letzte betrifft die Möglichkeit, dass an den Endpunkten eines Intervalls erscheint.$\theta$

Diese drei zusammen garantiert werden, dass die Wahrscheinlichkeit , an dem wahren Parameter maximiert ist und dann , dass der MLE θ daß löst die Gleichung$\theta_0$$\hat{\theta}$

ist konsistent.

Bedingung 4 : Das pdf ist als Funktion von θ zweimal differenzierbar$f(x;\theta)$$\theta$

Bedingung 5 : Das Integral kann als Funktion von θ zweimal unter dem Integralzeichen unterschieden werden$\int_{-\infty}^{\infty} f(x;\theta)\ \mathrm dx$$\theta$

Wir brauchen die letzten beiden, um die Fisher-Informationen abzuleiten, die eine zentrale Rolle in der Konvergenztheorie der Mle spielen.

Für einige Autoren reichen diese aus, aber wenn wir gründlich sein wollen, brauchen wir zusätzlich eine Endbedingung, die die asymptotische Normalität der Mle gewährleistet.

$f(x;\theta)$$\theta$$\theta \in \Omega$$c$$M(x)$

$E_{\theta_0} \left[M(X)\right] <\infty$$|\theta-\theta_0|<c$$x$$X$

$\theta_0$

Hast du das gedacht?