Diskrete einheitliche Zufallsvariable (?), Die alle rationalen Werte in einem geschlossenen Intervall aufnimmt

Ich hatte gerade eine (intellektuelle) Panikattacke.

• Eine stetige Zufallsvariable, die in einem geschlossenen Intervall einer Uniform folgt $U(a,b)$: ein bekanntes statistisches Konzept.
• Ein durchgehendes, einheitliches RV, das Unterstützung über die erweiterten Realzahlen (halb oder ganz) hat: kein richtiges RV, sondern ein grundlegendes Bayes'sches Konzept für ein unangemessenes vorheriges, nützliches und anwendbares.
• Eine diskrete Uniform mit einer endlichen Anzahl von Werten: Lasst uns eine geodätische Kuppel werfen, keine große Sache.

Aber was ist mit einer Funktion, deren Domäne alle in einem geschlossenen Intervall enthaltenen Rationen mit ganzzahligen Grenzen enthält (beginnen Sie mit $[0,1]$ wenn Sie dies wünschen)? Und wir wollen es in einem probabilistischen Rahmen verwenden, der voraussetzt, dass jeder mögliche Wert die gleiche Wahrscheinlichkeit hat wie alle anderen?

Die Anzahl der möglichen Werte ist unendlich (was viele diskrete Verteilungen charakterisiert), aber wie kann man die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Wertes ausdrücken, wenn wir die gleichen Wahrscheinlichkeiten haben wollen?

Können wir sagen - zeigen - beweisen, dass eine solche Entität eine Zufallsvariable ist (nicht ist)?

Wenn nicht, ist dies eine weitere (vielleicht bereits bekannte) Inkarnation eines "unzulässigen Prior"?

Ist es möglich, dass diese Entität in einem wohldefinierten Sinne, wie speziell auch immer, "äquivalent" zu einer kontinuierlichen gleichmäßigen rv ist? Oder habe ich nur eine Kardinalsünde begangen?

Es scheint, dass die Tatsache, dass die Domain ein geschlossenes Intervall ist, mich nicht gehen lässt. Begrenzte Dinge sind normalerweise überschaubar.

Die Fragen sind vielfältig, um auf den inneren Strudel hinzuweisen - ich möchte nicht zu jedem eine Antwort bekommen.

Ich werde das Update jederzeit durchführen, wenn mir Erkenntnisse einfallen.

UPDATE: Die vorliegende Frage hat hier gerade eine konstruktivistische Fortsetzung bekommen .

Diese "Zufallsvariable" ähnelt der Idee, eine Wohnung vor der gesamten realen Linie zu haben (Ihr zweites Beispiel).

Um zu zeigen, dass es keine Zufallsvariable geben kann, so dass P ( X = q ) = c für alle q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] und die Konstante c gilt , verwenden wir die σ -additive Eigenschaft von Zufallsvariablen: die zählbare Vereinigung von disjunkte Ereignisse haben eine Wahrscheinlichkeit, die der (möglicherweise unendlichen) Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse entspricht. Also, wenn c = 0 , ist die Wahrscheinlichkeit P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 $X$$P(X=q)=c$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$$\sigma$$c=0$ , da es sich um die Summe von zählbar vielen Nullen handelt. Wenn c > 0 ist , dann ist P ( X ≤ Q ≤ [ 0 , 1 ] ) = ≤ . Eine richtige Zufallsvariable, die Werte in Q ∩ [ 0 , 1 ] annimmt , muss jedoch so sein, dass P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = 1 ist , so dass es keine solche Zufallsvariable gibt.$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$

Der Schlüssel hier ist, wie Sie vielleicht bereits wissen, dass wenn der Raum aus endlich vielen Punkten besteht, wir und kein Problem mit der Summe haben, und wenn der Raum unzählig viele Punkte hat, können Sie c haben = 0 und die σ- Additivität wird bei der Integration über den Raum nicht verletzt, da es sich um eine Aussage über zählbare Dinge handelt. Sie werden jedoch Probleme haben, wenn Sie eine gleichmäßige Verteilung über eine unendlich große Menge wünschen.$c>0$$c=0$$\sigma$

Im Zusammenhang mit einem Bayesianischen Prior kann man natürlich einfach sagen, dass für alle q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ist, wenn man gewillt ist, den falschen Prior zu verwenden.$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

Eine positivere Tatsache ist die folgende.
Wenn Sie die Forderung fallen lassen, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß abzählbar additiv ist und stattdessen nur endlich additiv sein muss (nur um dieser Frage willen), lautet die Antwort für die rationalen Zahlen "Ja".
Die rationalen Zahlen sind eine additive Gruppe da man zwei rationale Zahlen addieren kann, gibt es ein neutrales Element ist, Null ist , und jeder hat eine additive Inverse - z ∈ Q . Nun kann man die rationalen Zahlen mit der diskreten Topologie ausrüsten, so dass sie eine diskrete Gruppe sind . (Dies ist wichtig, da es in anderen Kontexten praktischer ist, dies nicht zu tun und eine andere Topologie darauf anzuwenden.)$z\in\mathbb{Q}$$-z\in\mathbb{Q}$

Als diskrete Gruppe betrachtet, sind sie sogar eine abzählbare diskrete Gruppe, da es nur abzählbar viele rationale Zahlen gibt.
Sie sind auch eine abelsche Gruppe, weil für jedes Paar rationaler Zahlen gilt. Nun sind die rationalen Zahlen, als zählbare diskrete Gruppe betrachtet, eine zugängliche Gruppe. Siehe hier für die Definition einer zugänglichen diskreten Gruppe. Hier wird gezeigt, dass jede abzählbare abelsche diskrete Gruppe zugänglich ist. Dies gilt insbesondere für die Gruppe der rationalen Zahlen. Daher gibt es nach der Definition einer zugänglichen diskreten Gruppe ein endlich additives Wahrscheinlichkeitsmaß $z +y =y+z$

$\mu$auf den rationalen Zahlen , die Translation invariant ist, was bedeutet , dass die für jede Teilmenge A ⊂ Q und eine beliebige rationale Zahl z ∈ Q . Diese Eigenschaft umfasst die intuitive Art, "Uniformität" zu definieren. μ verschwindet notwendigerweise auf allen endlichen Teilmengen: μ ( { z } ) = 0 für alle z ∈ Q .$\mu(z + A) = \mu(A)$$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$$\mu(\{z\})=0$$z\in\mathbb{Q}$
Wenn Sie eine Zufallsvariable anstelle eines Wahrscheinlichkeitsmaßes suchen, betrachten Sie einfach die Identitätsfunktion im Wahrscheinlichkeitsraum . Dies ergibt eine solche erforderliche Zufallsvariable. Wenn Sie also Ihre Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes etwas lockern, erhalten Sie eine positive Antwort auf die rationalen Zahlen. Vielleicht scheint die Existenz von μ etwas kontraintuitiv zu sein. Man kann eine bessere Vorstellung von μ bekommen, wenn man berücksichtigt, dass eine direkte Folge der Translationsinvarianz ist, dass das Maß aller rationalen Zahlen, deren Boden gerade ist, die Hälfte ist; Auch ist das Maß derjenigen mit ungeraden Boden die Hälfte, und so weiter. Das Maß $(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$$\mu$
$\mu$Das, was wir gerade gezeigt haben, verschwindet auch notwendigerweise in allen begrenzten Teilmengen (wie man mit einem ähnlichen Argument zeigen kann), insbesondere im Einheitsintervall.
Daher gibt nicht sofort eine Antwort auf die rationalen Zahlen im Einheitsintervall. Man hätte gedacht, dass die Antwort für die rationalen Zahlen im Einheitsintervall einfacher zu geben ist als für alle rationalen Zahlen, aber es scheint umgekehrt zu sein. (Es scheint jedoch auch, dass man ein Wahrscheinlichkeitsmaß für die rationalen Zahlen im Einheitsintervall mit ähnlichen Eigenschaften aufstellen kann, aber die Antwort würde dann eine genauere Definition von "Einheitlichkeit" erfordern - vielleicht etwas im Sinne von "Übersetzung". unveränderlich, wenn die Übersetzung nicht außerhalb des Einheitsintervalls führt ".)$\mu$

UPDATE: Sie erhalten sofort ein Maß für die Einheitsintervall-Rationals, das in diesem Sinne einheitlich ist, indem Sie das Push-Forward-Maß für die Rationals berücksichtigen, das wir entlang der Karte von den Rationals zu den Einheitsintervall-Rationals erstellt haben, die zugeordnet sind jedes rational zu seinem Bruchteil.
Daher erhalten Sie nach Lockerung des Erfordernisses der endlichen Additivität solche Maßnahmen in beiden von Ihnen genannten Fällen.