Wie finde ich eine Dichte aus einer charakteristischen Funktion?

Eine Verteilung hat die charakteristische Funktion

ϕ (t) = (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4), - \infty < t < \infty

$\phi(t) = (1-t^2/2)\exp(-t^2/4),\ -\infty \lt t \lt \infty$

Zeigen Sie, dass die Verteilung absolut stetig ist, und schreiben Sie die Dichtefunktion der Verteilung.

Versuch:

\int_{- \infty}^{\infty} | (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) | d t = (- 2 / t) (1 - t^{2} / 2) \exp (- t^{2} / 4) - 2 \exp (- t^{2} / 4) |_{- \infty}^{0}

$\int_{-\infty}^{\infty}|(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)|dt =(-2/t)(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)-2\exp(-t^2/4)|_{-\infty}^{0}$

Ähnliches Ergebnis für da quadratisch ist. $[0,\infty]$ $t$

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Integration richtig gemacht habe, aber wenn ich zeigen kann, dass der Absolutwert von kleiner als , ist die Funktion absolut stetig. $\phi(t)$ $\infty$

probability distributions self-study characteristic-function statsguyz
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Verwenden Sie

für

für jedes Polynom

. Dies stellt sicher, dass beide Schwänze integrierbar sind.

p (t) / \exp (t^{2}) \to 0

$p(t)/\exp(t^2)\to 0$

t \to \pm \infty

$t\to \pm\infty$

p

$p$

Stefan Hansen

Antworten:

Dichtefunktionen werden mit der inversen Fourier-Transformation gefunden. Die Dichtefunktion der Verteilung, falls eine solche Dichte existiert, ist gegeben durch

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} ϕ (x) d x = \frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- i t x} ((1 - x^{2} / 2) e^{- x^{2} / 4}) d x .

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\phi(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\left((1-x^2/2)e^{-x^2/4}\right) dx .$

Dieses Integral kann in zwei Teile geteilt werden, von denen jeder einen Integranden der Form hat

\exp (- Q_{t} (x)) x^{2 k}

$\exp(-Q_t(x))x^{2k}$

wobei eine quadratische Form mit einem negativen führenden Term ist und eine nicht negative ganze Zahl ist. Dies macht jeden Integranden zu einer Schwartz-Funktion (schnell abnehmend) , wodurch seine Integrierbarkeit für jedes sichergestellt wird . Die Integrierbarkeit beweist, dass es kontinuierlich ist ; Der rasche Rückgang beweist, dass es absolut kontinuierlich ist. Die Integrale lassen sich leicht ausführen, indem das Quadrat im Exponential vervollständigt und auf ein Vielfaches von geraden Momenten der Gaußschen Verteilung reduziert wird. Das Ergebnis ist $Q_t$ $k$ $t$

f (t) = \frac{2}{\sqrt{π}} t^{2} e^{- t^{2}} .

$f(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} t^2 e^{-t^2}.$

Die Kontinuität von bestätigt die frühere Schlussfolgerung der absoluten Kontinuität der Verteilung. $f$

Handlung von f

Das Quadrat dieser (symmetrisch) Variable hat einen Gamma Verteilung. $(3/2, 1)$

Alternativ könnte man das erkennen

ϕ (t) = - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{t^{2}}{4}) e^{- t^{2} / 4} = (- i)^{2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} 2 e^{- t^{2} / 4}

$\phi(t) = -2\left(-\frac{1}{2} + \frac{t^2}{4}\right)e^{-t^2/4} = (-i)^2\frac{d^2}{dt^2}2e^{-t^2/4}$

ist mit der zweiten Ableitung des Gaußschen proportional $e^{-t^2/4}$ $-id/dt$ $f(x)$ $x^2$ $2e^{-t^2/4}$ $e^{-x^2}$ $2/\sqrt{\pi}$ $\sqrt{1/2}$

whuber
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